Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente os seguintes sinais abaixo, segundo o teorema de amostragem: x(t)=\operatorname{sinc}(100 t)
Passo 1
O enunciado dá o sinal temporal
x(t)=\operatorname{sinc}(100\,t)
e pede: qual é a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente esse sinal segundo o teorema de amostragem?
Observação importante (assunção que vou usar): tomo aqui a definição padrão de processamento de sinais
\operatorname{sinc}(t)=\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}.
Não foi dada outra definição no enunciado, então seguirei essa convenção.
Passo 2
O que precisamos entender primeiro é qual é o conteúdo espectral (em frequência) de \operatorname{sinc}(t)\). Há um par transformada de Fourier (usando frequência em Hz) bem conhecido:
\[\operatorname{sinc}(t) \xleftrightarrow{\mathcal{F}} \operatorname{rect}(f),
onde \operatorname{rect}(f) é a função retangular definida por
Explicação rápida: aqui f\] é a frequência em hertz (Hz). Isso significa que \(\operatorname{sinc}(t) tem espectro limitado (bandlimited) e ocupa somente as frequências entre -\tfrac{1}{2} Hz e +\tfrac{1}{2} Hz.]
Passo 3
Agora uso a propriedade de escala no tempo e frequência da transformada de Fourier. Se
Aqui a é o fator de compressão/expansão no tempo; X(f) é o espectro original; a propriedade diz como o espectro se altera (ele se dilata em frequência e ganha um fator de amplitude 1/|a|).
Aplicando isso a x(t)=\operatorname{sinc}(100\,t): tomando x_0(t)=\operatorname{sinc}(t) com X_0(f)=\operatorname{rect}(f), temos
Portanto o espectro está limitado às frequências -50\\ \mathrm{Hz}\le f\le 50\\ \mathrm{Hz}. O maior componente em frequência (a banda passante máxima) é
B = 50\\ \mathrm{Hz}.
Explicando em palavras: o sinal é bandlimited com banda máxima 50\\ \mathrm{Hz}, ou seja não contém frequências acima de 50\\ \mathrm{Hz}.
Passo 5
Lembrete do teorema de amostragem (forma prática que vamos usar): para reconstruir perfeitamente um sinal bandlimited sem aliasing, a frequência de amostragem f_s deve satisfazer
f_s \ge 2B
(onde B é a maior frequência presente no sinal). O valor mínimo admissível é chamado de taxa de Nyquist; na prática recomenda-se estritamente maior que 2B por causa de filtros reais, mas matematicamente a igualdade é aceita para sinais estritamente bandlimited.