Você precisa quantizar um sinal contínuo m(t) em um coversor A/D limitando as amplitudes do quantizador entre -2 e 2 , utilizando a quantização Mid-Rise com L=2^{R}, ou seja, L é par. O passo de quantização precisa ser no máximo 0,001 .
(a) Qual a mínima resolução em bits do quantizador que se pode utilizar? R: Isolando R chegamos a R=12 bits.
(b) Com a resposta do item (a) acima, qual será o passo de quantização? R: Q=0,0009766.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) determinar a mínima resolução em bits R do quantizador, sabendo que L=2^{R} (ou seja, L é potência de 2 e par) e que a quantização é do tipo Mid-Rise com amplitudes limitadas entre -2 e 2.
  • (b) com esse R encontrado, calcular o passo de quantização Q.
As informações fornecidas e relevantes:
  • Limites de amplitude do quantizador: -2 e 2.
  • Quantizador uniforme Mid-Rise com L=2^{R} níveis, L par.
  • Restrição sobre o passo: o passo de quantização deve ser no máximo 0{,}001.

Passo 2

Entender o que é o passo de quantização num quantizador uniforme Mid-Rise e definir variáveis:
  • Denotar por Q o passo (ou amplitude) de cada intervalo de quantização.
  • O intervalo total coberto pelo quantizador vai de -2 até 2, portanto a largura total é 2-(-2)=4.
  • Num quantizador uniforme com L níveis (Mid-Rise), os intervalos têm largura igual e o passo é a razão entre a largura total e o número de intervalos L. Assim vale:
Q = \frac{\text{largura total}}{L} = \frac{4}{L}.
Aqui explicando com calma: cada nível “ocupa” um intervalo de largura Q; somando os L intervalos obtemos a largura total 4, logo L\cdot Q = 4 e daí Q=4/L.

Passo 3

Impor a condição do enunciado sobre o passo: Q deve ser no máximo 0{,}001. Substituindo Q=4/L obtemos a desigualdade
\frac{4}{L} \le 0{,}001.
Isolando L:
L \ge \frac{4}{0{,}001} = 4000.
Portanto precisamos de pelo menos 4000 níveis.

Passo 4

Como L precisa ser igual a 2^{R} (potência de 2), procuramos o menor inteiro R tal que 2^{R}\ge 4000.
Verificação por potências de 2 conhecidas:
2^{11} = 2048 < 4000,\qquad 2^{12} = 4096 \ge 4000.
Logo o menor R inteiro que satisfaz é R=12. (Se quiser ver com logaritmo: R\ge \log_{2}(4000)\approx 11{,}97, então R=12.)

Passo 5

Com R=12 temos L=2^{12}=4096. Calcular o passo:
Q=\frac{4}{L}=\frac{4}{4096}=\frac{1}{1024}=0{,}0009765625.
Arredondando para quatro casas decimais depois do zero no formato usado no enunciado, fica Q\approx 0{,}0009766.

Passo 6

Checagem rápida: o passo calculado Q=0{,}0009765625 satisfaz a restrição Q\le 0{,}001, portanto R=12 é a menor resolução em bits que cumpre a exigência.

Resposta

R=12 bits
Q=0{,}0009765625 (aprox. 0{,}0009766)

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