Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente os seguintes sinais abaixo, segundo o teorema de amostragem:
x(t)=\cos (2 \pi 500 t)+\operatorname{sen}(2 \pi 1000 t)

Passo 1

O enunciado pede: “Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente, segundo o teorema de amostragem, o sinal dado.”
O sinal fornecido é
x(t)=\cos\bigl(2\pi 500\,t\bigr)+\operatorname{sen}\bigl(2\pi 1000\,t\bigr).
Informações extraídas do enunciado:
  • O primeiro termo é \cos\bigl(2\pi 500\,t\bigr). O número multiplicando 2\pi t é 2\pi\cdot 500, portanto esse termo corresponde a uma componente de frequência 500\\ \text{Hz}.
  • O segundo termo é \operatorname{sen}\bigl(2\pi 1000\,t\bigr). O número multiplicando 2\pi t é 2\pi\cdot 1000, portanto esse termo corresponde a uma componente de frequência 1000\\ \text{Hz}.
  • A pergunta única: determinar a menor frequência de amostragem f_s que permita amostrar o sinal sem perda (isto é, sem aliasing), segundo o teorema de amostragem.

Passo 2

Explicando o teorema de amostragem (de forma simples e prática):
O teorema de Nyquist–Shannon diz, para sinais limitados em banda, que para poder reconstruir perfeitamente um sinal a partir de suas amostras é necessário que a frequência de amostragem f_s seja pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal. Esse dobro da maior frequência é chamado taxa de Nyquist. Em fórmula:
f_s \ge 2\,f_{\max},
onde f_{\max} é a maior frequência (em Hz) presente no sinal.
Observações práticas: teoricamente a igualdade f_s=2f_{\max} é o limite (taxa de Nyquist). Na prática costuma-se usar f_s>2f_{\max} para evitar problemas com componentes exatamente na borda e com filtros ideais imperfeitos. Aqui vamos apresentar o valor teórico mínimo (taxa de Nyquist).

Passo 3

Determinar f_{\max} a partir do sinal:
As componentes são 500\\ \text{Hz} e 1000\\ \text{Hz}. Então
f_{\max}=\max(500,1000)=1000\\ \text{Hz}.

Passo 4

Aplicar a fórmula da taxa de Nyquist:
f_s \ge 2\,f_{\max}=2\cdot 1000=2000\\ \text{Hz}.
Portanto a menor frequência de amostragem teórica necessária é 2000\\ \text{Hz}.
Também é útil saber o maior período de amostragem correspondente:
T_s=\frac{1}{f_s}=\frac{1}{2000}=0{,}0005\\ \text{s}=0{,}5\\ \text{ms}.

Passo 5

Comentário prático e exemplo rápido (para consolidar):
  • Se amostrassemos a f_s=1500\\ \text{Hz}, a componente de 1000\\ \text{Hz} seria aliased (sobreposta) e não poderia ser corretamente reconstruída.
  • Se amostrarmos exatamente em f_s=2000\\ \text{Hz} cumprimos a taxa de Nyquist teoricamente; na prática muitas vezes se escolhe um pouco acima (por exemplo 2100 2500\\ \text{Hz}) para dar margem a filtros e imprecisões.

Resposta

f_s = 2000\\ \text{Hz}

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