Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente os seguintes sinais abaixo, segundo o teorema de amostragem:
Passo 1
O enunciado pede: “Obtenha a menor frequência de amostragem necessária para amostrar corretamente, segundo o teorema de amostragem, o sinal dado.”
O sinal fornecido é
O sinal fornecido é
Informações extraídas do enunciado:
- O primeiro termo é
. O número multiplicando é , portanto esse termo corresponde a uma componente de frequência . - O segundo termo é
. O número multiplicando é , portanto esse termo corresponde a uma componente de frequência . - A pergunta única: determinar a menor frequência de amostragem
que permita amostrar o sinal sem perda (isto é, sem aliasing), segundo o teorema de amostragem.
Passo 2
Explicando o teorema de amostragem (de forma simples e prática):
O teorema de Nyquist–Shannon diz, para sinais limitados em banda, que para poder reconstruir perfeitamente um sinal a partir de suas amostras é necessário que a frequência de amostragem seja pelo menos o dobro da maior frequência presente no sinal. Esse dobro da maior frequência é chamado taxa de Nyquist. Em fórmula:
O teorema de Nyquist–Shannon diz, para sinais limitados em banda, que para poder reconstruir perfeitamente um sinal a partir de suas amostras é necessário que a frequência de amostragem
onde
é a maior frequência (em Hz) presente no sinal.
Observações práticas: teoricamente a igualdade é o limite (taxa de Nyquist). Na prática costuma-se usar
para evitar problemas com componentes exatamente na borda e com filtros ideais imperfeitos. Aqui vamos apresentar o valor teórico mínimo (taxa de Nyquist).
Observações práticas: teoricamente a igualdade
Passo 3
Determinar
a partir do sinal:
As componentes são e
. Então
As componentes são
Passo 4
Aplicar a fórmula da taxa de Nyquist:
Portanto a menor frequência de amostragem teórica necessária é
.
Também é útil saber o maior período de amostragem correspondente:
Também é útil saber o maior período de amostragem correspondente:
Passo 5
Comentário prático e exemplo rápido (para consolidar):
- Se amostrassemos a
, a componente de seria aliased (sobreposta) e não poderia ser corretamente reconstruída. - Se amostrarmos exatamente em
cumprimos a taxa de Nyquist teoricamente; na prática muitas vezes se escolhe um pouco acima (por exemplo – ) para dar margem a filtros e imprecisões.