Considere um sinal modulado em FM, dado pela equação:
, onde o sinal da informação
possui largura de banda
, e o sinal FM transmitido possui largura de banda
. Determine:
(a) ( 0,5 pontos) a potência e a frequência da portadora do sinal transmitido.
(b) ( 1,0 pontos) o desvio de frequência deste sinal e a amplitude máxima do sinal
.
(c) ( 1,5 pontos) um possível diagrama de blocos de um transmissor indireto de Armstrong, possuindo a disposição qualquer tipo e quantidade de multiplicadores de frequência, um mixer um oscilador local acoplado com frequência central ajustável para qualquer frequência desejada, e um gerador NBFM com
e desvio de frequência de 100 Hz . Encontre todas as equações, e as propriedades de frequência central e desvio de frequência, em cada parte do sistema proposto.
(d) ( 1,0 pontos) um possível diagrama de blocos de um receptor para o sinal transmitido. Encontre todas as equações ao longo do sistema proposto.
(a) ( 0,5 pontos) a potência e a frequência da portadora do sinal transmitido.
(b) ( 1,0 pontos) o desvio de frequência deste sinal e a amplitude máxima do sinal
(c) ( 1,5 pontos) um possível diagrama de blocos de um transmissor indireto de Armstrong, possuindo a disposição qualquer tipo e quantidade de multiplicadores de frequência, um mixer um oscilador local acoplado com frequência central ajustável para qualquer frequência desejada, e um gerador NBFM com
(d) ( 1,0 pontos) um possível diagrama de blocos de um receptor para o sinal transmitido. Encontre todas as equações ao longo do sistema proposto.
Passo 1
O enunciado dá o sinal FM
Lista clara do que é pedido e dos dados fornecidos:
- Pedidos:
(a) potência e frequência da portadora transmitida;
(b) desvio de frequência (peak deviation) e amplitude máxima de;
(c) propor um diagrama de blocos de um transmissor indireto do tipo Armstrong usando um gerador NBFM come desvio inicial ; indicar equações e propriedades (frequência central e desvio) em cada estágio; podem ser usados multiplicadores de frequência, um mixer com oscilador local ajustável e qualquer quantidade/tipo de multiplicadores;
(d) propor um diagrama de blocos de receptor para o sinal transmitido e escrever as equações ao longo do sistema. - Dados extraídos do enunciado:
- amplitude do sinal transmitido:
(unidades de tensão). - termo de fase linear:
. Aqui tomo (mega). - termo de modulação na fase:
. Aqui (quilo). - largura de banda de
: . - largura de banda do sinal FM transmitido:
.
- amplitude do sinal transmitido:
- Observações que vou usar sem perguntar:
- assumirei impedância de carga/antena unitária
quando precisar dar potência numérica (se for outra impedância, multiplicar por conforme a fórmula clássica).
- assumirei impedância de carga/antena unitária
- A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Encontrar a frequência da portadora efetiva a partir do termo
.
Explicação teórica curta: o argumento de um cosseno em FM é a fase instantânea
. Um termo
na fase corresponde à frequência angular da portadora
; a frequência em hertz é
.
Aqui o termo linear em
é
. Logo
A frequência em hertz é
Portanto a frequência da portadora é
(usei vírgula para decimais conforme indicado).
Agora a potência média do sinal transmitido: para um cosseno de amplitude
aplicado a uma carga
, a potência média é
Aqui
e tomo
(assunção padrão). Assim
Resumo do passo:
e, assumindo
,
.
Passo 3
Interpretar o termo de modulação e encontrar o desvio de frequência instantâneo.
Teoria que precisamos lembrar (passo-a-passo): a fase instantânea do sinal FM é
onde
é a parte de fase causada pela modulação. A frequência angular instantânea é a derivada da fase:
A frequência instantânea em hertz é
. O desvio instantâneo (em Hz) relativo à portadora é
No nosso sinal temos
. Derivando:
Logo o desvio instantâneo em hertz é
Em notação compacta:
O desvio de pico (ou peak frequency deviation)
é o máximo absoluto de
, isto é
onde
.
Passo 4
Usar a regra de Carson para relacionar largura de banda transmitida com o desvio máximo e a maior frequência do mensagem.
Teoria (muito importante na prova): a regra de Carson dá uma boa estimativa da largura de banda ocupada por um FM:
onde
é o desvio máximo em Hz e
é a maior frequência presente em
(a largura de banda do sinal de informação). No problema temos
e
.
Plugando:
Dividindo por 2:
Agora relacionar com a expressão do Passo 3:
Portanto
Conclusão do passo: pico do desvio
e amplitude máxima do sinal de informação
.
Passo 5
Planejamento do transmissor indireto (Armstrong) — ideias gerais e propriedades que vamos usar.
Breve explicação pedagógica: no método de Armstrong cria-se FM em baixa frequência (NBFM) com pequeno desvio e depois multiplica-se a frequência por uma razão
. Um multiplicador por
transforma um sinal
em
. Para FM isso implica:
- frequência da portadora é multiplicada:
; - desvio de frequência é multiplicado:
; - o conteúdo em frequência do modulador (as componentes de
) não muda em frequência absoluta (as frequências de permanecem as mesmas em Hz), portanto a maior componente de permanece ; pela regra de Carson a largura de banda aproximada após multiplicação fica
Também é comum usar uma mistura (mixer) com um oscilador local para deslocar a portadora para a frequência desejada sem alterar o desvio (a mistura soma/subtrai frequências, mantendo as variações de frequência relativas causadas por
).
Objetivo prático: partir de um gerador NBFM com
e
e chegar ao sinal transmitido com
e
mantendo
.
Passo 6
Escolher o fator de multiplicação
necessário para amplificar o desvio inicial até o desvio desejado.
Queremos
. Logo
Logo precisamos de ganho de frequência total
por combinação de multiplicadores (por exemplo cadeias de ×2, ×4, ×5 etc) para escalar o desvio de
até
.
Verificação da frequência central após multiplicação direta:
Então, após multiplicação por
, o sinal NBFM terá
e
. Ainda precisamos ajustar para
— faremos isso por mistura (upconversion) usando um mixer e um oscilador local.
Passo 7
Proposição concreta de diagrama de blocos (texto + equações em cada etapa) para o transmissor Armstrong proposto.
Diagrama de blocos (descrição linear):
- Gerador NBFM (entrada
) com saída onde e é tal que . Ou seja no sentido de escala (constante proporcional incorporada). - Cadeia de multiplicadores de frequência cujo produto dá
. Um exemplo prático de fatores: (porque ). Cada multiplicador transforma fase em . - Após o primeiro
: - Após o segundo
: - Após cada
subsequente multiplicamos por 2 até o produto total 800; depois das cinco temos e . - Em todo estágio
: - Importante:
(maior componente de ) continua sendo em todos os estágios (não é multiplicado).
- Após o primeiro
- Filtro passa-faixa adequado após a cadeia de multiplicadores para suprimir harmônicas indesejadas e selecionar a componente desejada em
. - Mixer (upconverter) com oscilador local ajustável
. A mistura soma e subtrai frequências; selecionamos a soma: - A mistura não altera o desvio:
- Após o mixer aplicamos filtro passa-faixa centrado em
para remover a imagem e outras misturas.
- A mistura não altera o desvio:
- Etapa final: amplificador de potência e antena.
Equações resumo por bloco:
- Saída do gerador NBFM:
- Após multiplicadores com produto
: com e largura aproximada - Após mixer com
: com e
Comentário prático e empático: sim, precisar de
é grande, por isso na prática usa-se uma cadeia com multiplicadores pequenos em cascata (como exemplifiquei) e filtros entre etapas para controlar harmônicos e ruídos — é exatamente por isso que o Armstrong usa NBFM e multiplica.
Passo 8
Desenho e equações do receptor (proposta prática: super-heteródino com discriminador FM).
Estratégia pedagógica: para recuperar
do FM precisamos de um demodulador FM (discriminador ou PLL). Antes dele convém converter o sinal da frequência de transmissão para uma frequência intermediária onde filtragem e amplificação são mais fáceis, e aplicar limitador para remover amplitude e deixar só variação de fase/freq.
Proposta de blocos (linear):
- Antena -> filtro RF passa-banda centrado em
para seleção de canal. - Amplificador RF.
- Mixer de recepção: misturar com LO para deslocar para uma IF conveniente (por exemplo
, escolha comum). Então escolhemos . A diferença gera o sinal IF onde as variações de frequência (desvio) são preservadas. - Se o sinal recebido é
onde representa a fase de modulação, após multiplicação por LO e filtragem da diferença, obtemos Observação: o termo de modulação é preservado (a mistura desloca a portadora mas mantém as variações de fase/freq decorrentes de ).
- Se o sinal recebido é
- Filtro IF passa-banda centrado em
(largura compatível com ) para seleção e redução de ruído e imagens. - Limitador (opcional/prático): remove variação de amplitude, deixando só a informação de frequência.
- Demodulador FM (discriminador ou PLL): converte a variação de frequência instantânea em tensão proporcional. A saída do discriminador é aproximadamente proporcional a
(onde é a forma real de ). Mais precisamente, a discriminador dá uma tensão onde é ganho do discriminador (V/Hz). Para obter exatamente com amplitude correta, podemos escolher ou aplicar um ganho de pós-compensação tal que . - Filtro passa-baixa (reconstrutor/antialias) que limite a saída a
e remove ruído de alta frequência. - Saída: sinal recuperado
.
Equações importantes ao longo:
- após conversão para IF:
com e . - discriminador (aproximação linear em torno da portadora):
- ganho de recuperação
para obter : Escolher tal que recupera amplitude original .
Comentário prático: o limitador é importante antes do discriminador para eliminar flutuações de amplitude e deixar apenas a informação de frequência. Além disso, a escolha de IF e filtros depende de projeto, mas as equações acima são gerais e mostram como a modulação é preservada.
Passo 9
Resumo final e checagens numéricas (rápidas e motivacionais).
- Rechequei: a derivada do termo integral no enunciado deu proporcionalidade direta entre
e a variação angular; convertendo rad/s para Hz obtemos o multiplicador que relaciona com o desvio instantâneo em Hz; usando Carson com BW final e achamos e, consequentemente, . Tudo consistente com as equações do transmissor indireto mostrando e com a mistura para . Você está indo bem — essa é a linha de raciocínio esperada na prova: analisar fase, derivar frequência instantânea, aplicar Carson, e depois aplicar propriedades de multiplicadores e mixers.
Resposta
(a) Potência
(assumindo
); frequência da portadora
(b) Desvio de frequência de pico Amplitude máxima do
:
(c) Transmissor Armstrong proposto: gerador NBFM com ,
; cadeia de multiplicadores com produto
(ex.:
) leva a
e
; filtro seletivo; mixer com
para somar e obter
(desvio permanece
); largura aproximada
(d) Receptor (super-heteródino) proposto: antena → filtro RF (centro ) → RF amp → mixer com
→ IF
→ filtro IF (BW ≈
) → limitador → discriminador/PLL (saida
) → ganho de ajuste → filtro passa-baixa (20 kHz) → saída
.
(b) Desvio de frequência de pico
(c) Transmissor Armstrong proposto: gerador NBFM com
(d) Receptor (super-heteródino) proposto: antena → filtro RF (centro