Considere um sinal modulado em FM, dado pela equação:
s(t)=5 \cos \left[210,2 M \pi t+50 k \pi \int_{0}^{t} m(\alpha) d \alpha\right], onde o sinal da informação m(t) possui largura de banda 20 k H z, e o sinal FM transmitido possui largura de banda 200 k H z. Determine:
(a) ( 0,5 pontos) a potência e a frequência da portadora do sinal transmitido.
(b) ( 1,0 pontos) o desvio de frequência deste sinal e a amplitude máxima do sinal m(t).
(c) ( 1,5 pontos) um possível diagrama de blocos de um transmissor indireto de Armstrong, possuindo a disposição qualquer tipo e quantidade de multiplicadores de frequência, um mixer um oscilador local acoplado com frequência central ajustável para qualquer frequência desejada, e um gerador NBFM com f_{c 1}=100 k H z e desvio de frequência de 100 Hz . Encontre todas as equações, e as propriedades de frequência central e desvio de frequência, em cada parte do sistema proposto.
(d) ( 1,0 pontos) um possível diagrama de blocos de um receptor para o sinal transmitido. Encontre todas as equações ao longo do sistema proposto.

Passo 1

O enunciado dá o sinal FM
s(t)=5\cos\!\left[210,2\,\mathrm{M}\,\pi\,t + 50\,\mathrm{k}\,\pi\int_{0}^{t} m(\alpha)\,d\alpha\right].
Lista clara do que é pedido e dos dados fornecidos:
  • Pedidos:
    (a) potência e frequência da portadora transmitida;
    (b) desvio de frequência (peak deviation) e amplitude máxima de m(t);
    (c) propor um diagrama de blocos de um transmissor indireto do tipo Armstrong usando um gerador NBFM com f_{c1}=100\\ \mathrm{kHz} e desvio inicial 100\\ \mathrm{Hz}; indicar equações e propriedades (frequência central e desvio) em cada estágio; podem ser usados multiplicadores de frequência, um mixer com oscilador local ajustável e qualquer quantidade/tipo de multiplicadores;
    (d) propor um diagrama de blocos de receptor para o sinal transmitido e escrever as equações ao longo do sistema.
  • Dados extraídos do enunciado:
    • amplitude do sinal transmitido: 5 (unidades de tensão).
    • termo de fase linear: 210,2\,\mathrm{M}\,\pi\,t. Aqui tomo \mathrm{M}=10^{6} (mega).
    • termo de modulação na fase: 50\,\mathrm{k}\,\pi\int_0^t m(\alpha)\,d\alpha. Aqui \mathrm{k}=10^{3} (quilo).
    • largura de banda de m(t): 20\\ \mathrm{kHz}.
    • largura de banda do sinal FM transmitido: 200\\ \mathrm{kHz}.
  • Observações que vou usar sem perguntar:
    • assumirei impedância de carga/antena unitária 1\\ \Omega quando precisar dar potência numérica (se for outra impedância, multiplicar por 1/R conforme a fórmula clássica).
  • A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Encontrar a frequência da portadora efetiva a partir do termo \;210,2\,\mathrm{M}\,\pi\,t.
Explicação teórica curta: o argumento de um cosseno em FM é a fase instantânea \theta(t). Um termo \omega_c t na fase corresponde à frequência angular da portadora \omega_c; a frequência em hertz é f_c=\omega_c/(2\pi).
Aqui o termo linear em t é \;210,2\,\mathrm{M}\,\pi\,t=\omega_c t. Logo
\omega_c = 210,2\times 10^{6}\,\pi\\ \text{rad/s}.
A frequência em hertz é
f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{210,2\times 10^{6}\,\pi}{2\pi}=\frac{210,2\times 10^{6}}{2}=105,1\times 10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
Portanto a frequência da portadora é \;f_c=105,1\\ \mathrm{MHz} (usei vírgula para decimais conforme indicado).
Agora a potência média do sinal transmitido: para um cosseno de amplitude A aplicado a uma carga R, a potência média é
P=\frac{A^2}{2R}.
Aqui A=5 e tomo R=1\\ \Omega (assunção padrão). Assim
P=\frac{5^2}{2\cdot 1}=\frac{25}{2}=12,5\\ \mathrm{W}.
Resumo do passo: f_c=105,1\\ \mathrm{MHz} e, assumindo R=1\\ \Omega, P=12,5\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Interpretar o termo de modulação e encontrar o desvio de frequência instantâneo.
Teoria que precisamos lembrar (passo-a-passo): a fase instantânea do sinal FM é
\theta(t)=\omega_c t + \Phi(t),
onde \Phi(t) é a parte de fase causada pela modulação. A frequência angular instantânea é a derivada da fase:
\omega_{\text{inst}}(t)=\frac{d\theta}{dt}=\omega_c + \frac{d\Phi}{dt}.
A frequência instantânea em hertz é f_{\text{inst}}(t)=\omega_{\text{inst}}(t)/(2\pi). O desvio instantâneo (em Hz) relativo à portadora é
\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\frac{d\Phi}{dt}.
No nosso sinal temos \Phi(t)=50\,\mathrm{k}\,\pi\int_0^t m(\alpha)\,d\alpha. Derivando:
\frac{d\Phi}{dt}=50\,\mathrm{k}\,\pi\,m(t)=50\times 10^{3}\,\pi\,m(t)\\ \text{(rad/s)}.
Logo o desvio instantâneo em hertz é
\Delta f(t)=\frac{1}{2\pi}\,50\times 10^{3}\,\pi\,m(t)=\frac{50\times 10^{3}}{2}m(t)=25\times 10^{3}\,m(t).
Em notação compacta:
\boxed{\Delta f(t)=25\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t).}
O desvio de pico (ou peak frequency deviation) \Delta f_{\text{pk}} é o máximo absoluto de \Delta f(t), isto é
\Delta f_{\text{pk}} = 25\\ \mathrm{kHz}\cdot A_m,
onde A_m=\max|m(t)|.

Passo 4

Usar a regra de Carson para relacionar largura de banda transmitida com o desvio máximo e a maior frequência do mensagem.
Teoria (muito importante na prova): a regra de Carson dá uma boa estimativa da largura de banda ocupada por um FM:
\text{BW}\approx 2\left(\Delta f_{\text{pk}} + f_m\right),
onde \Delta f_{\text{pk}} é o desvio máximo em Hz e f_m é a maior frequência presente em m(t) (a largura de banda do sinal de informação). No problema temos \text{BW}=200\\ \mathrm{kHz} e f_m=20\\ \mathrm{kHz}.
Plugando:
200\\ \mathrm{kHz} = 2\left(\Delta f_{\text{pk}} + 20\\ \mathrm{kHz}\right).
Dividindo por 2:
100\\ \mathrm{kHz} = \Delta f_{\text{pk}} + 20\\ \mathrm{kHz}
\Rightarrow \Delta f_{\text{pk}} = 100\\ \mathrm{kHz} - 20\\ \mathrm{kHz} = 80\\ \mathrm{kHz}.
Agora relacionar com a expressão do Passo 3:
\Delta f_{\text{pk}} = 25\\ \mathrm{kHz}\cdot A_m.
Portanto
A_m=\frac{\Delta f_{\text{pk}}}{25\\ \mathrm{kHz}}=\frac{80\\ \mathrm{kHz}}{25\\ \mathrm{kHz}}=3,2.
Conclusão do passo: pico do desvio \Delta f_{\text{pk}}=80\\ \mathrm{kHz} e amplitude máxima do sinal de informação A_m=3,2.

Passo 5

Planejamento do transmissor indireto (Armstrong) — ideias gerais e propriedades que vamos usar.
Breve explicação pedagógica: no método de Armstrong cria-se FM em baixa frequência (NBFM) com pequeno desvio e depois multiplica-se a frequência por uma razão n. Um multiplicador por n transforma um sinal \cos(\theta(t)) em \cos(n\theta(t)). Para FM isso implica:
  • frequência da portadora é multiplicada: f_c' = n f_c;
  • desvio de frequência é multiplicado: \Delta f' = n \Delta f;
  • o conteúdo em frequência do modulador (as componentes de m(t)) não muda em frequência absoluta (as frequências de m(t) permanecem as mesmas em Hz), portanto a maior componente de m(t) permanece f_m; pela regra de Carson a largura de banda aproximada após multiplicação fica
\text{BW}' \approx 2\left(n\Delta f + f_m\right).
Também é comum usar uma mistura (mixer) com um oscilador local para deslocar a portadora para a frequência desejada sem alterar o desvio (a mistura soma/subtrai frequências, mantendo as variações de frequência relativas causadas por m(t)).
Objetivo prático: partir de um gerador NBFM com f_{c1}=100\\ \mathrm{kHz} e \Delta f_1=100\\ \mathrm{Hz} e chegar ao sinal transmitido com f_c=105,1\\ \mathrm{MHz} e \Delta f=80\\ \mathrm{kHz} mantendo f_m=20\\ \mathrm{kHz}.

Passo 6

Escolher o fator de multiplicação n necessário para amplificar o desvio inicial até o desvio desejado.
Queremos \Delta f = n\Delta f_1. Logo
n=\frac{\Delta f}{\Delta f_1}=\frac{80\\ \mathrm{kHz}}{100\\ \mathrm{Hz}}=\frac{80\,000}{100}=800.
Logo precisamos de ganho de frequência total n=800 por combinação de multiplicadores (por exemplo cadeias de ×2, ×4, ×5 etc) para escalar o desvio de 100\\ \mathrm{Hz} até 80\\ \mathrm{kHz}.
Verificação da frequência central após multiplicação direta:
f_{c2}=n f_{c1}=800\times 100\\ \mathrm{kHz}=80\\ \mathrm{MHz}.
Então, após multiplicação por 800, o sinal NBFM terá f_c=80\\ \mathrm{MHz} e \Delta f=80\\ \mathrm{kHz}. Ainda precisamos ajustar para 105,1\\ \mathrm{MHz} — faremos isso por mistura (upconversion) usando um mixer e um oscilador local.

Passo 7

Proposição concreta de diagrama de blocos (texto + equações em cada etapa) para o transmissor Armstrong proposto.
Diagrama de blocos (descrição linear):
  1. Gerador NBFM (entrada m(t)) com saída s_1(t)=A_1\cos\!\big[2\pi f_{c1} t + \Phi_1(t)\big],onde f_{c1}=100\\ \mathrm{kHz} e \Phi_1(t) é tal que \Delta f_1=100\\ \mathrm{Hz}. Ou seja \Phi_1'(t)=2\pi\cdot 100\\ \mathrm{Hz}\cdot m(t) no sentido de escala (constante proporcional incorporada).
  2. Cadeia de multiplicadores de frequência cujo produto dá n=800. Um exemplo prático de fatores: \times 5,\\ \times 5,\\ \times 2,\\ \times 2,\\ \times 2,\\ \times 2,\\ \times 2 (porque 5\cdot5\cdot2^5=25\cdot32=800). Cada multiplicador \times n_k transforma fase \theta_{k-1}(t) em n_k\theta_{k-1}(t).
    • Após o primeiro \times 5: f_{c}=5\cdot 100\\ \mathrm{kHz}=500\\ \mathrm{kHz},\\ \Delta f=5\cdot 100\\ \mathrm{Hz}=500\\ \mathrm{Hz}.
    • Após o segundo \times 5: f_{c}=25\cdot 100\\ \mathrm{kHz}=2,5\\ \mathrm{MHz},\\ \Delta f=25\cdot 100\\ \mathrm{Hz}=2,5\\ \mathrm{kHz}.
    • Após cada \times 2 subsequente multiplicamos por 2 até o produto total 800; depois das cinco \times 2 temos f_{c}=800\cdot 100\\ \mathrm{kHz}=80\\ \mathrm{MHz} e \Delta f=800\cdot 100\\ \mathrm{Hz}=80\\ \mathrm{kHz}.
    • Em todo estágio k: f_{c,k}=n_k f_{c,k-1},\qquad \Delta f_k=n_k \Delta f_{k-1}.
    • Importante: f_m (maior componente de m(t)) continua sendo 20\\ \mathrm{kHz} em todos os estágios (não é multiplicado).
  3. Filtro passa-faixa adequado após a cadeia de multiplicadores para suprimir harmônicas indesejadas e selecionar a componente desejada em 80\\ \mathrm{MHz}.
  4. Mixer (upconverter) com oscilador local ajustável f_{LO}=25,1\\ \mathrm{MHz}. A mistura soma e subtrai frequências; selecionamos a soma: f_{\text{out}} = f_{c,\,pré-mix} + f_{LO} = 80\\ \mathrm{MHz} + 25,1\\ \mathrm{MHz} = 105,1\\ \mathrm{MHz}.é
    • A mistura não altera o desvio: \Delta f_{\text{out}}=\Delta f_{\text{pré-mix}}=80\\ \mathrm{kHz}.é
    • Após o mixer aplicamos filtro passa-faixa centrado em 105,1\\ \mathrm{MHz} para remover a imagem 80-25,1=54,9\\ \mathrm{MHz} e outras misturas.
  5. Etapa final: amplificador de potência e antena.
Equações resumo por bloco:
  • Saída do gerador NBFM: s_1(t)=A_1\cos\!\Big[2\pi(100\\ \mathrm{kHz})t + \Phi_1(t)\Big],\quad \Delta f_1=100\\ \mathrm{Hz}.
  • Após multiplicadores com produto n=800: s_2(t)=A_2\cos\!\Big[2\pi(80\\ \mathrm{MHz})t + 800\Phi_1(t)\Big],com \Delta f_2=800\Delta f_1=80\\ \mathrm{kHz} e largura aproximada \text{BW}_2 \approx 2\big(80\\ \mathrm{kHz}+20\\ \mathrm{kHz}\big)=200\\ \mathrm{kHz}.
  • Após mixer com f_{LO}=25,1\\ \mathrm{MHz}: s_{\text{tx}}(t)=A\cos\!\Big[2\pi(105,1\\ \mathrm{MHz})t + 800\Phi_1(t)\Big]com \Delta f_{\text{tx}}=80\\ \mathrm{kHz} e \text{BW}_{\text{tx}}\approx 200\\ \mathrm{kHz}.
Comentário prático e empático: sim, precisar de n=800 é grande, por isso na prática usa-se uma cadeia com multiplicadores pequenos em cascata (como exemplifiquei) e filtros entre etapas para controlar harmônicos e ruídos — é exatamente por isso que o Armstrong usa NBFM e multiplica.

Passo 8

Desenho e equações do receptor (proposta prática: super-heteródino com discriminador FM).
Estratégia pedagógica: para recuperar m(t) do FM precisamos de um demodulador FM (discriminador ou PLL). Antes dele convém converter o sinal da frequência de transmissão para uma frequência intermediária onde filtragem e amplificação são mais fáceis, e aplicar limitador para remover amplitude e deixar só variação de fase/freq.
Proposta de blocos (linear):
  1. Antena -> filtro RF passa-banda centrado em 105,1\\ \mathrm{MHz} para seleção de canal.
  2. Amplificador RF.
  3. Mixer de recepção: misturar com LO para deslocar para uma IF conveniente (por exemplo f_{IF}=10,7\\ \mathrm{MHz}, escolha comum). Então escolhemos f_{LO}=105,1-10,7=94,4\\ \mathrm{MHz}. A diferença gera o sinal IF onde as variações de frequência (desvio) são preservadas.
    • Se o sinal recebido é s_{\text{rx}}(t)=A\cos\!\Big[2\pi(105,1\\ \mathrm{MHz})t + \phi_m(t)\Big],onde \phi_m(t)=800\Phi_1(t) representa a fase de modulação, após multiplicação por LO \cos(2\pi f_{LO}t) e filtragem da diferença, obtemos s_{IF}(t)=A_{IF}\cos\!\Big[2\pi(10,7\\ \mathrm{MHz})t + \phi_m(t)\Big].Observação: o termo de modulação \phi_m(t) é preservado (a mistura desloca a portadora mas mantém as variações de fase/freq decorrentes de m(t)).
  4. Filtro IF passa-banda centrado em 10,7\\ \mathrm{MHz} (largura compatível com 200\\ \mathrm{kHz}) para seleção e redução de ruído e imagens.
  5. Limitador (opcional/prático): remove variação de amplitude, deixando só a informação de frequência.
  6. Demodulador FM (discriminador ou PLL): converte a variação de frequência instantânea em tensão proporcional. A saída do discriminador é aproximadamente proporcional a \Delta f(t) = 80\\ \mathrm{kHz}\times \tilde m(t) (onde \tilde m(t) é a forma real de m(t)). Mais precisamente, a discriminador dá uma tensão v_o(t) = K_d\cdot \Delta f(t)=K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t),onde K_d é ganho do discriminador (V/Hz). Para obter exatamente m(t) com amplitude correta, podemos escolher K_d ou aplicar um ganho de pós-compensação G tal que G K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}=1.
  7. Filtro passa-baixa (reconstrutor/antialias) que limite a saída a 20\\ \mathrm{kHz} e remove ruído de alta frequência.
  8. Saída: sinal recuperado \hat m(t).
Equações importantes ao longo:
  • após conversão para IF: s_{IF}(t)=A_{IF}\cos\!\Big[2\pi f_{IF}t + \phi_m(t)\Big],com f_{IF}=10,7\\ \mathrm{MHz} e \phi_m'(t)/(2\pi)=\Delta f(t)=80\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t).
  • discriminador (aproximação linear em torno da portadora): v_o(t)=K_d\cdot\Delta f(t)=K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t).
  • ganho de recuperação G para obter \hat m(t): \hat m(t) = G\,v_o(t) = G K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t).Escolher G tal que G K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}=1 recupera amplitude original m(t).
Comentário prático: o limitador é importante antes do discriminador para eliminar flutuações de amplitude e deixar apenas a informação de frequência. Além disso, a escolha de IF e filtros depende de projeto, mas as equações acima são gerais e mostram como a modulação é preservada.

Passo 9

Resumo final e checagens numéricas (rápidas e motivacionais).
  • Rechequei: a derivada do termo integral no enunciado deu proporcionalidade direta entre m(t) e a variação angular; convertendo rad/s para Hz obtemos o multiplicador 25\\ \mathrm{kHz} que relaciona m(t) com o desvio instantâneo em Hz; usando Carson com BW final 200\\ \mathrm{kHz} e f_m=20\\ \mathrm{kHz} achamos \Delta f_{\text{pk}}=80\\ \mathrm{kHz} e, consequentemente, A_m=3,2. Tudo consistente com as equações do transmissor indireto mostrando n=800 e com a mistura para 105,1\\ \mathrm{MHz}. Você está indo bem — essa é a linha de raciocínio esperada na prova: analisar fase, derivar frequência instantânea, aplicar Carson, e depois aplicar propriedades de multiplicadores e mixers.

Resposta

(a) Potência P=\dfrac{5^{2}}{2}=12,5\\ \mathrm{W} (assumindo R=1\\ \Omega); frequência da portadora f_{c}=105,1\\ \mathrm{MHz}.
(b) Desvio de frequência de pico \Delta f_{\text{pk}}=80\\ \mathrm{kHz}. Amplitude máxima do m(t): A_{m}=3,2.
(c) Transmissor Armstrong proposto: gerador NBFM com f_{c1}=100\\ \mathrm{kHz}, \Delta f_{1}=100\\ \mathrm{Hz}; cadeia de multiplicadores com produto n=800 (ex.: \times5,\times5,\times2,\times2,\times2,\times2,\times2) leva a f_{c2}=800\cdot 100\\ \mathrm{kHz}=80\\ \mathrm{MHz} e \Delta f_{2}=800\cdot 100\\ \mathrm{Hz}=80\\ \mathrm{kHz}; filtro seletivo; mixer com f_{LO}=25,1\\ \mathrm{MHz} para somar e obter f_{tx}=80+25,1=105,1\\ \mathrm{MHz} (desvio permanece 80\\ \mathrm{kHz}); largura aproximada \text{BW}\approx 2(80\\ \mathrm{kHz}+20\\ \mathrm{kHz})=200\\ \mathrm{kHz}.
(d) Receptor (super-heteródino) proposto: antena → filtro RF (centro 105,1\\ \mathrm{MHz}) → RF amp → mixer com f_{LO}=94,4\\ \mathrm{MHz} → IF 10,7\\ \mathrm{MHz} → filtro IF (BW ≈ 200\\ \mathrm{kHz}) → limitador → discriminador/PLL (saida v_o(t)=K_d\cdot 80\\ \mathrm{kHz}\cdot m(t)) → ganho de ajuste → filtro passa-baixa (20 kHz) → saída \hat m(t).

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