Considere o sinal f(t)=\sin \left(\frac{1}{5} \pi t\right) definido dentro do intervalo t \in [0,10] s. Amostre este sinal diferentes períodos de amostragem: T_{s}= 0.1 \mathrm{~s}, T_{s}=1 \mathrm{e} T_{s}=6 \mathrm{~s}. Interpole os sinais amostrados com uma reta (FOH) e compare os sinais obtidos. Todos os sinais resultantes podem ser consideradas representações fieis, no domínio de tempo discreto, do sinal contínuo original? Discuta o fenômeno do aliasing. Como deve ser feita a escolha correta para o período de amostragem? Qual o efeito dos diferentes tipos de interpoladores (FOH, ZOH) nos sinais resultantes?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o sinal contínuo
f(t)=\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{5}\,t\Bigr)
definido em t\in[0,10] s. Vamos amostrar esse sinal com três períodos de amostragem distintos:
T_s=0{,}1\text{ s},\quad T_s=1\text{ s},\quad T_s=6\text{ s},
e interpolar cada sequência amostrada por uma reta (First-Order Hold, FOH). Em seguida, vamos comparar os sinais resultantes, verificar quais representam fielmente o original (no domínio discreto), discutir aliasing e analisar como escolher corretamente T_s. Por fim, comentamos o efeito de diferentes interpoladores (FOH versus ZOH).

Passo 2

Calculamos a frequência fundamental do sinal contínuo. O argumento do seno é
\omega_0=\tfrac{\pi}{5}\quad\Rightarrow\quad f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{1}{10}\text{ Hz},
isto é, período T_0=10 s. Para cada T_s temos frequência de amostragem
f_s=\frac{1}{T_s}
e frequência de Nyquist f_N=f_s/2. Assim:
  • Para T_s=0{,}1 s: f_s=10 Hz, f_N=5 Hz.
  • Para T_s=1 s: f_s=1 Hz, f_N=0{,}5 Hz.
  • Para T_s=6 s: f_s\approx0{,}167 Hz, f_N\approx0{,}0833 Hz.

Passo 3

Aplicando o Teorema de Nyquist, precisamos de f_s\ge2f_0=0{,}2 Hz para evitar aliasing:
  • Com T_s=0{,}1 s temos f_s=10 Hz \gg0{,}2 Hz → amostragem suficientemente rápida → sem aliasing.
  • Com T_s=1 s temos f_s=1 Hz >0{,}2 Hz → também sem aliasing.
  • Com T_s=6 s temos f_s\approx0{,}167 Hz <0{,}2 Hz → amostragem lenta demais → ocorre aliasing.

Passo 4

No caso com T_s=6 s, a frequência amostrada falsa (“alias”) será
f_{\text{alias}}=\bigl|f_0 - k\,f_s\bigr|,
onde k é um inteiro que torna f_{\text{alias}}<f_N. Aqui tomamos k=1:
f_{\text{alias}}=\bigl|0{,}1 - 0{,}1667\bigr|\approx0{,}0667\text{ Hz},
ou seja, percebemos um seno mais lento (período \approx 15 s) em vez do original de 10 s.

Passo 5

Para reconstruir (interpolar) usamos FOH, que liga cada par de pontos \{(nT_s,f[n])\} por segmentos de reta. Esse método:
  • Preserva continuidade de primeira ordem e reduz artefatos de alta frequência em comparação à ZOH (Zero-Order Hold), que mantém cada amostra constante até a próxima, gerando degraus e mais componentes de alta frequência.
  • Contudo, nenhum dos dois reproduz perfeitamente um sinal bandlimited; a reconstrução ideal seria por sinc-interpolação tras perdas de banda sem pré-filtragem anti-alias.

Passo 6

Escolha de T_s: deve-se estimar a frequência máxima presente no sinal f_{\max} e garantir
T_s\le\frac{1}{2\,f_{\max}}
para satisfazer o Nyquist. Se houver componente acima de f_s/2, deve-se aplicar filtro passa-baixas anti-alias antes de amostrar.
Efeito dos interpoladores:
  • ZOH é simples mas produz saída escalonada e ruído de quantização de forma de onda.
  • FOH melhora a suavidade, mas ainda distorce levemente (diferença em forma de onda e espectro) comparado à reconstrução ideal.

Resposta

Para T_s=0{,}1 s e T_s=1 s não há aliasing e as sequências amostradas mais FOH fornecem representações discretas fiéis (embora não perfeitas) do seno original. Para T_s=6 s ocorre aliasing e a forma reconstruída não corresponde ao sinal contínuo real. A escolha de T_s deve obedecer ao Teorema de Nyquist T_s\le1/(2f_{\max}), eventualmente acompanhada de filtragem anti-alias. Em termos de interpolação, FOH oferece transições mais suaves que ZOH, mas nenhum substitui a sinc-interpolação ideal.

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