Consider the system defined by
\begin{aligned} {\left[\begin{array}{l} \dot{x}_{1} \\\ \dot{x}_{2} \\\ \dot{x}_{3} \end{array}\right] } & =\left[\begin{array}{rrr} -1 & -2 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} 2 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u \\\ y & =\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] \end{aligned}
Is the system completely state controllable and completely observable?

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear invariável no tempo
\dot x = A x + B\,u,\quad y = C x
com
A = \begin{pmatrix}-1 & -2 & -2\\[6pt]0 & -1 & 1\\[6pt]1 & 0 & -1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}2\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Para verificar controlabilidade e observabilidade usamos os critérios de Kalman: a matriz de controlabilidade \mathcal{C} = [B\;\;A\,B\;\;A^2B] deve ter posto 3 e a matriz de observabilidade \displaystyle \mathcal{O}=\begin{pmatrix}C\\[2pt]C\,A\\[2pt]C\,A^2\end{pmatrix} também deve ter posto 3.]

Passo 2

Calculamos
A\,B = A\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\cdot2-2\cdot0-2\cdot1\\[4pt]0\cdot2-1\cdot0+1\cdot1\\[4pt]1\cdot2+0\cdot0-1\cdot1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-4\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix},
A^2B = A\,(A\,B) = A\begin{pmatrix}-4\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]-5\end{pmatrix}.
Formando
\mathcal{C} = \bigl[B\;\;A\,B\;\;A^2B\bigr] =\begin{pmatrix} 2 & -4 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & -5 \end{pmatrix},
vemos que
\det\mathcal{C} =2\bigl(1\cdot(-5)-0\cdot1\bigr) = -10 \neq 0,
logo \rank(\mathcal{C})=3 e o sistema é completamente controlável.]

Passo 3

Calculamos
C\,A = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -2 & -2\\[2pt]0 & -1 & 1\\[2pt]1 & 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1 & -3 & -1\end{pmatrix},
C\,A^2 = (C\,A)\,A =\begin{pmatrix}-1 & -3 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & -2 & -2\\[2pt]0 & -1 & 1\\[2pt]1 & 0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 5 & 0\end{pmatrix}.
Formando
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C\\[2pt] C\,A\\[2pt] C\,A^2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\[4pt] -1 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 5 & 0 \end{pmatrix},
seu determinante é
\det\mathcal{O} =1\bigl((-3)\cdot0-(-1)\cdot5\bigr) =5\neq0,
logo \rank(\mathcal{O})=3 e o sistema é completamente observável.]

Resposta

Sim. O sistema é completamente controlável e completamente observável.

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