Considere o sinal
com transformada de Fourier
. Suponha que os seguintes fatos são dados:
i.
é real e não negativo;
ii.
é a transformada de Fourier de
, sendo
uma constante;
iii.
Determine a expressão, em forma fechada, para
.
i.
ii.
iii.
Determine a expressão, em forma fechada, para
Passo 1
Beleza, o problema diz que temos um sinal real e não-negativo
com transformada de Fourier
, e que
-
é real e . -
é a transformada de . -
.
Queremos achar
em forma fechada.
Matéria envolvida: propriedades da Transformada de Fourier (especialmente a relação entre derivada no tempo e fator na frequência) e Teorema de Parseval (para achar a constante
).
Matéria envolvida: propriedades da Transformada de Fourier (especialmente a relação entre derivada no tempo e fator
Passo 2
Vamos traduzir a dica (ii) para o domínio do tempo.
Sabemos que
Sabemos que
-
, -
.
Logo
Como isso é a transformada de
, concluímos no tempo que
Passo 3
Temos então a equação diferencial (para
, pois
“liga” aí):
Como
é causal (supomos que vale zero antes de
), a condição inicial natural é
.
Para resolver, usamos fator integrante. Multiplicamos tudo por
:
O lado esquerdo é
. Assim,
Integrando de
até
:
Como
, fica
para
, e
para
.
Passo 4
Agora falta determinar
usando o item (iii) com Parseval.
Parseval diz
Parseval diz
Como
para
, reduz para
Cancelamos
em ambos os lados e expandimos o quadrado:
Calcule cada integral:
Então
Então
Logo
(pegamos o sinal positivo para manter
).