Considere o sinal x(t) com transformada de Fourier X(j omega). Suponha que os seguintes fatos são dados:
i. x(t) é real e não negativo;
ii. (1+j omega) X(j omega) é a transformada de Fourier de A e^-2 t u(t), sendo A uma constante;
iii. integral-infty^+infty|X(j omega)|^2 d omega=2 pi
Determine a expressão, em forma fechada, para x(t).

Passo 1

Beleza, o problema diz que temos um sinal real e não-negativo com transformada de Fourier , e que
  1. é real e .
  2. é a transformada de .
  3. .
Queremos achar em forma fechada.
Matéria envolvida: propriedades da Transformada de Fourier (especialmente a relação entre derivada no tempo e fator na frequência) e Teorema de Parseval (para achar a constante ).

Passo 2

Vamos traduzir a dica (ii) para o domínio do tempo.
Sabemos que
  • Fx(t) + x'(t) = X(jomega) + jomega,X(jomega) = l(1 + jomegar),X(jomega) ,
  • x(t) + x'(t) = A e^-2tu(t) .
Logo
Como isso é a transformada de , concluímos no tempo que

Passo 3

Temos então a equação diferencial (para x'(t) + x(t) = A e^-2t, x(t)=0 para t<0 , pois e^tx'(t) + e^tx(t) = A e^te^-2t = A e^-t “liga” aí):
ddtl(e^tx(t)r) = A e^-t
Como e^tx(t) - e^0x(0) = Aintegral0^te^-taudtau = Al(1 - e^-tr) é causal (supomos que vale zero antes de e^tx(t) = Al(1 - e^-tr) ;Longrightarrow; x(t) = Al(1 - e^-tr)e^-t = Al(e^-t - e^-2tr), ), a condição inicial natural é .
Para resolver, usamos fator integrante. Multiplicamos tudo por :
O lado esquerdo é . Assim,
Integrando de até :
Como , fica
para , e para .

Passo 4

Agora falta determinar integral-infty^+infty|X(jomega)|^2,domega = 2piintegral-infty^+infty|x(t)|^2,dt usando o item (iii) com Parseval.
Parseval diz
2piintegral0^inftyl[A(e^-t-e^-2t)r]^2 dt = 2pi
Como A^2integral0^infty(e^-t-e^-2t)^2dt = A^2integral0^inftyl(e^-2t - 2e^-3t + e^-4tr)dt = 1 para integral0^infty(e^-t-e^-2t)^2dt = 12 - 2cdot13 + 14 = 6 - 8 + 312 = 112 , reduz para
A^2cdot112 = 1 Longrightarrow A^2 = 12 Longrightarrow A = raiz12 = 2raiz3
Cancelamos em ambos os lados e expandimos o quadrado:
Calcule cada integral:

Então
Logo
(pegamos o sinal positivo para manter ).

Resposta

boxed x(t) = 2raiz3,l(e^-t - e^-2tr),u(t)

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