Determine a transformada de Fourier X(e^j omega) dos sinais em tempo discreto
longrightarrow[n]=alpha^n u[n], sendo |alpha|<1

Passo 1

Beleza, o enunciado pede a Transformada de Fourier discreta (DTFT) de
x[n] = alpha^n,u[n], |alpha|<1
Conteúdo/teoria que vamos usar:
  • Definição de DTFT para sinais em tempo discreto.
  • Soma de série geométrica infinita.
  • Condição de convergência (para garantir que a soma faça sentido).

Passo 2

Pela definição de DTFT, temos:
Xl(e^jomegar) ;=; sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n
Como Xl(e^jomegar) =sumn=0^infty alpha^n,e^-jomega n , ele vale zero para . Então a soma vira:

Passo 3

Repare que dentro da soma temos Xl(e^jomegar) =sumn=0^infty (alpha,e^-jomega)^n .
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Isto é uma série geométrica de razão .

Passo 4

Teoria da série geométrica:
sumn=0^infty r^n = 11-r, se |r|<1
Aqui Xl(e^jomegar) =11 - alpha,e^-jomega , e (dado no enunciado).
Então aplicamos direto:

Resposta

boxedXl(e^jomegar)=11-alpha,e^-jomega, |alpha|<1

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