Determine x[n] cujas transformadas Fourier são dadas por
c) X(e^j omega)=sumell=-infty^infty 2 pi de

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente descobrir qual sequência discreta Xl(e^jomegar) ;=; sumell=-infty^infty 2pi,de tem a seguinte Transformada de Fourier no domínio digital (DTFT):
sumn=-infty^infty e^-j(omega-omega0)n ;=; 2pi sumell=-infty^infty de
Estamos vendo Transformada de Fourier discreta (DTFT) e a propriedade de que a DTFT de uma exponencial complexa gera um trem de deltas periódicos. Para resolver, vamos precisar da definição de DTFT e da fórmula clássica

Passo 2

Lembra da definição da DTFT?
Xl(e^jomegar);=;sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n
Queremos um tal que, ao fazer essa soma, sobre um trem de deltas centrados em .

Passo 3

Existe uma propriedade padrão: se a gente toma
x[n] = e^jomega0 n,
então
sumn=-infty^infty x[n],e^-jomega n = sumn=-infty^infty e^jomega0 n,e^-jomega n = sumn=-infty^infty e^-j(omega-omega0)n = 2pi sumell=-infty^infty de
Ou seja, isso bate exatamente com o do enunciado.

Resposta

Logo, a sequência é
boxedx[n] = e^,jomega0 n

Exercícios relacionados