Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
g) x(t)=4 t(1+t^2)^2

Passo 1

Beleza, a gente tem o sinal
x(t)=4,t(1+t^2)^2
e o objetivo é achar a transformada de Fourier
X(omega)=integral-infty^+inftyx(t)e^-jomega t,dt,
Isso cai dentro de “Transformada de Fourier” e, pra resolver, vamos usar duas coisas principais:
  1. Um transformado padrão que a gente já conhece em tabela: F1(1+t^2)^2(omega) =integral-infty^+inftye^-jomega t(1+t^2)^2dt =pi2,e^-|omega|(1+|omega|),
  2. A propriedade de derivada no domínio da frequência:$$\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)=j,\frac{d}{d\omega}F(\omega),$$
    onde Ft,f(t)(omega) =j,ddomegaF(omega),.

Passo 2

Primeiro a gente define
f(t)=1(1+t^2)^2, F(omega)=Ff(t)(omega) =pi2,e^-|omega|(1+|omega|),
Esse resultado vem de tabela de integrais ou pode ser obtido por derivar em relação a algum parâmetro, mas aqui vamos usá-lo como ponto de partida.

Passo 3

Como Ft,f(t)(omega) = j,ddomegaF(omega), aplicamos a propriedade
$$\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)
= j,\frac{d}{d\omega}F(\omega). X(omega) =4,Ft,f(t)(omega) =4,j,ddomega[pi2,e^-|omega|(1+|omega|)] =2pi j,ddomega[e^-|omega|(1+|omega|)]X(\omega)
=4,\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)
=4,j,\frac{d}{d\omega}\Big[\frac\pi2,e^{-|\omega|}(1+|\omega|)\Big]
=2\pi j,\frac{d}{d\omega}\big[e^{-|\omega|}(1+|\omega|)\big].$$

Passo 4

Vamos derivar
A(omega)=e^-|omega|(1+|omega|)
- Se A(omega)=e^-omega(1+omega)Longrightarrow A'(omega)=-e^-omega(1+omega)+e^-omegacdot1 =-,omega,e^-omega, A(omega)=e^omega(1-omega)Longrightarrow A'(omega)=e^omega(1-omega)-e^omega =-,omega,e^omega =-,omega,e^-|omega| e
$$A(\omega)=e^{-\omega}(1+\omega)\quad\Longrightarrow\quad
A'(\omega)=-e^{-\omega}(1+\omega)+e^{-\omega}\cdot1
         =-\,\omega\,e^{-\omega}.$$  
  • Se ddomegaA(omega)=-,omega,e^-|omega|, e
Em ambos os lados (positivo ou negativo), fica

Resposta

Substituindo de volta em boxedX(omega)=-,2pi,j,omega,e^-|omega|,, a transformada de Fourier é

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