Determine as transformadas de Fourier dos seguintes sinais
g)
g)
Passo 1
Beleza, a gente tem o sinal
e o objetivo é achar a transformada de Fourier
Isso cai dentro de “Transformada de Fourier” e, pra resolver, vamos usar duas coisas principais:
- Um transformado padrão que a gente já conhece em tabela:
- A propriedade de derivada no domínio da frequência:$$\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)=j,\frac{d}{d\omega}F(\omega),$$
onde.
Passo 2
Primeiro a gente define
Esse resultado vem de tabela de integrais ou pode ser obtido por derivar em relação a algum parâmetro, mas aqui vamos usá-lo como ponto de partida.
Passo 3
Como
, aplicamos a propriedade
$$\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)
= j,\frac{d}{d\omega}F(\omega).
X(\omega)
=4,\mathcal{F}{t,f(t)}(\omega)
=4,j,\frac{d}{d\omega}\Big[\frac\pi2,e^{-|\omega|}(1+|\omega|)\Big]
=4,j,\frac{d}{d\omega}\Big[\frac\pi2,e^{-|\omega|}(1+|\omega|)\Big]
=2\pi j,\frac{d}{d\omega}\big[e^{-|\omega|}(1+|\omega|)\big].$$
Passo 4
Vamos derivar
- Se
$$A(\omega)=e^{-\omega}(1+\omega)\quad\Longrightarrow\quad
A'(\omega)=-e^{-\omega}(1+\omega)+e^{-\omega}\cdot1
=-\,\omega\,e^{-\omega}.$$
- Se
, e
Em ambos os lados (positivo ou negativo), fica
Resposta
Substituindo de volta em
, a transformada de Fourier é