Considere o sinal x(t)=t e^{-3 t} \cos (t) u(t).
(a) Determine X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.
(b) Calcule o valor da integral
\int_{0}^{+\infty} t e^{-3 t} \cos (t) d t

Passo 1

O enunciado dá o sinal
x(t)=t\,e^{-3t}\cos(t)\,u(t)
e pede (a) a transformada de Laplace X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e (b) o valor da integral
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\cos(t)\,dt.
Para resolver vamos usar as propriedades da transformada de Laplace:
  1. deslocamento no domínio de s (para o fator e^{-3t}),
  2. a propriedade de diferenciação em s (para o fator t).

Passo 2

Começamos lembrando que
\mathcal{L}\{\cos(t)\}(s)=\frac{s}{s^2+1}.
Pelo deslocamento de frequência (fator e^{-3t}), trocamos s por s+3, obtendo
F(s)\equiv \mathcal{L}\{e^{-3t}\cos(t)\} =\frac{s+3}{(s+3)^2+1}.

Passo 3

Agora usamos a propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}(s)\bigr].
Como x(t)=t\cdot[e^{-3t}\cos(t)], temos
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}(s) =-\frac{d}{ds}\bigl[F(s)\bigr].

Passo 4

Vamos calcular a derivada de
F(s)=\frac{s+3}{(s+3)^2+1}.
Temos
\frac{dF}{ds} =\frac{1\cdot\bigl[(s+3)^2+1\bigr]-(s+3)\cdot2(s+3)}{\bigl[(s+3)^2+1\bigr]^2} =\frac{(s+3)^2+1-2(s+3)^2}{\bigl[(s+3)^2+1\bigr]^2} =\frac{1-(s+3)^2}{\bigl[(s+3)^2+1\bigr]^2}.
Logo
X(s)=-\frac{dF}{ds} =\frac{(s+3)^2-1}{\bigl[(s+3)^2+1\bigr]^2}.

Passo 5

A integral pedida é exatamente a transformada de Laplace avaliada em s=0:
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\cos(t)\,dt =X(0) =\frac{(0+3)^2-1}{\bigl[(0+3)^2+1\bigr]^2} =\frac{9-1}{(9+1)^2} =\frac{8}{100} =\frac{2}{25}.

Resposta

(a) \displaystyle X(s)=\frac{(s+3)^2-1}{\bigl[(s+3)^2+1\bigr]^2}.
(b) \displaystyle \int_{0}^{\infty}t\,e^{-3t}\cos(t)\,dt=\frac{2}{25}.

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