Considere o sinal x(t)=\sin (\omega t). Apresente o gráfico do sinal resultante \rho(x) das seguintes transformações:
\rho(x)=x^{2} função x ao quadrado

Passo 1

O enunciado dá o sinal de entrada
x(t)=\sin(\omega t)
e pede o gráfico do sinal de saída obtido pela transformação de energia
\rho(x)=x^2.
O conteúdo envolve transformações não lineares de amplitude e uso da identidade trigonométrica para caracterizar a forma do sinal resultante.

Passo 2

Aplicamos a transformação ao sinal de entrada. Assim, a saída é
y(t)=\rho\bigl(x(t)\bigr)=\bigl[\sin(\omega t)\bigr]^2.

Passo 3

Para entender melhor a forma, usamos a identidade
\sin^2(\theta)=\frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Com \theta=\omega t, obtemos
y(t)=\sin^2(\omega t)=\frac{1-\cos\bigl(2\omega t\bigr)}{2}.

Passo 4

Dessa forma vemos que
  • O valor médio (DC) é \tfrac12.
  • A amplitude varia entre 0 e 1, pois \sin^2(\omega t)\in[0,1].
  • A frequência é o dobro da original: o período de y(t) é
T_y = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega},
metade do período de x(t), que era T_x=2\pi/\omega.

Passo 5

O gráfico de y(t)=\sin^2(\omega t) pode ser desenhado marcando pontos-chave:
  • Em t=0, y(0)=0.
  • Em t=\tfrac{\pi}{2\omega}, y\bigl(\tfrac{\pi}{2\omega}\bigr)=1.
  • Em t=\tfrac{\pi}{\omega}, y\bigl(\tfrac{\pi}{\omega}\bigr)=0.
    E assim por diante periodicamente com período \pi/\omega.
y
1+ /\ /\
| / \ / \
0+------+ ___/ _____ t
0 \tfrac{\pi}{2\omega} \tfrac{\pi}{\omega}

Resposta

O sinal resultante é
y(t)=\sin^2(\omega t)=\frac{1-\cos(2\omega t)}{2},
cujo gráfico oscila entre 0 e 1 com período \pi/\omega, conforme esboçado acima.

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