Considere o sinal x(t)=t e^{-2 t} \sin (3 t) u(t).
(a) Determine X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.
(b) Calcule o valor da integral
\int_{0}^{+\infty} t e^{-2 t} \sin (3 t) d t

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x(t)=t\,e^{-2t}\sin(3t)\,u(t)
e pede duas coisas: (a) encontrar sua transformada de Laplace X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}, e (b) calcular
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-2t}\sin(3t)\,dt.
Para isso vamos usar duas propriedades básicas da transformada de Laplace: o deslocamento em s (shifting) e a propriedade da multiplicação por t.

Passo 2

Primeiro, definimos
f(t)=e^{-2t}\sin(3t)\,u(t).
Sabemos que
\mathcal{L}\{\sin(3t)\}(s)=\frac{3}{s^{2}+9}.
Pelo deslocamento em s, ao multiplicar por e^{-2t} temos
\mathcal{L}\{e^{-2t}\sin(3t)\}(s) =\frac{3}{(s+2)^{2}+3^{2}} =\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.
Chamemos esse resultado de
F(s)=\frac{3}{(s+2)^{2}+9}.

Passo 3

Agora aplicamos a propriedade
\mathcal{L}\{t\,f(t)\}(s)=-\frac{d}{ds}\bigl[F(s)\bigr].
Como x(t)=t\,f(t), temos
X(s)=-\frac{d}{ds}\!\Bigl[\frac{3}{(s+2)^{2}+9}\Bigr].

Passo 4

Vamos derivar
F(s)=3\bigl[(s+2)^{2}+9\bigr]^{-1}.
Usando a regra da cadeia,
\frac{dF}{ds} =3\cdot(-1)\bigl[(s+2)^{2}+9\bigr]^{-2}\cdot2(s+2) =-\frac{6(s+2)}{\bigl[(s+2)^{2}+9\bigr]^{2}}.
Portanto
X(s)=-\frac{dF}{ds} =\frac{6(s+2)}{\bigl[(s+2)^{2}+9\bigr]^{2}}.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-2t}\sin(3t)\,dt
basta notar que é exatamente X(s) avaliado em s=0. Assim,
\int_{0}^{\infty}t\,e^{-2t}\sin(3t)\,dt =X(0) =\frac{6(0+2)}{\bigl[(0+2)^{2}+9\bigr]^{2}} =\frac{12}{(4+9)^{2}} =\frac{12}{13^{2}} =\frac{12}{169}.

Resposta

(a) \displaystyle X(s)=\frac{6(s+2)}{\bigl[(s+2)^{2}+9\bigr]^{2}}.
(b) \displaystyle \int_{0}^{\infty}t\,e^{-2t}\sin(3t)\,dt=\frac{12}{169}.

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