Considere uma sirene da polícia emitindo uma onda senoidal com frequência de f
=300 \mathrm{~Hz}. Considere a velocidade do som no ar 340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.
se a sirene estiver em repouso e o ouvinte se afastando da sirene a 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, que frequência o ouvinte escuta?

Passo 1

O enunciado pede: “que frequência o ouvinte escuta?” quando a sirene emite uma onda senoidal com frequência \,f=300\\ \mathrm{Hz}\,, a velocidade do som é \,v=340\\ \mathrm{m/s}\,, a sirene está em repouso e o ouvinte se afasta da sirene com velocidade \,v_o=30\\ \mathrm{m/s}\,. Essas são todas as informações relevantes fornecidas.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: para uma onda sonora existe a relação entre velocidade da onda, comprimento de onda e frequência dada por
v=\lambda f,
onde \,v\, é a velocidade do som ( \mathrm{m/s}), \,\lambda\, é o comprimento de onda ( \mathrm{m}) e \,f\, é a frequência da fonte ( \mathrm{Hz}). Vou explicar cada variável: \,f\, é quantas oscilações por segundo a fonte emite; \,\lambda\, é a distância entre cristas consecutivas da onda; \,v\, é a rapidez com que essas cristas se deslocam pelo ar.

Passo 3

Agora a ideia de por que a frequência percebida muda quando o ouvinte se move. Se o ouvinte se afasta, ele intercepta as cristas com uma velocidade relativa menor: as cristas chegam com velocidade \,v - v_o\, em relação ao ouvinte (aqui estou assumindo o sinal positivo para \,v_o\, quando o ouvinte se afasta). A frequência percebida \,f'\, é então o número de cristas que atingem o ouvinte por segundo, ou seja
f'=\frac{\text{velocidade relativa com que as cristas chegam}}{\text{comprimento de onda}}=\frac{v-v_o}{\lambda}.
Usando \lambda=\dfrac{v}{f} (da relação do Passo 2) obtemos a fórmula prática
f' = f\cdot\frac{v-v_o}{v}.
Aqui \,f'\, é a frequência percebida, \,f\, é a frequência emitida pela sirene, \,v\, é a velocidade do som e \,v_o\, é a velocidade do ouvinte (positiva quando se afasta).

Passo 4

Substituímos os valores numéricos na fórmula. Temos \,f=300\\ \mathrm{Hz}\,, \,v=340\\ \mathrm{m/s}\, e \,v_o=30\\ \mathrm{m/s}\,. Então
f' = 300\cdot\frac{340-30}{340} = 300\cdot\frac{310}{340} = 300\cdot\frac{31}{34}.

Passo 5

Agora calculamos o valor numérico. Primeiro a fração
\frac{31}{34}\approx 0{,}9117647059,
então
f' \approx 300\times 0{,}9117647059 \approx 273{,}5294118\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais dá \,273{,}53\\ \mathrm{Hz}\, (ou aprox. \,274\\ \mathrm{Hz}\,).

Resposta

f'\approx 273{,}53\\ \mathrm{Hz}

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