Considere um sistema quântico bidimensional com base ortonormal formada por |1\rangle e |2\rangle.
Sejam dois operadores observáveis A e B definidos nessa base como:
\begin{gathered} A=a\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right)=a(|1\rangle\langle 1|-|2\rangle\langle 2|) \\\ B=b\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)=b(|1\rangle\langle 2|+|2\rangle\langle 1|) \end{gathered}
onde a e b são constantes reais.
Se o estado do sistema é
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle+|2\rangle)
calcule
(a) o comutador [A, B].
(b) a relação de incerteza de Heisenberg \Delta A \Delta B.
(c) O que significa, nesse contexto simples de dois estados, dizer que A e B não comutam?

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. Temos um sistema com base ortonormal formada por |1\rangle e |2\rangle. Os operadores são
A=a\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=a(|1\rangle\langle1|-|2\rangle\langle2|)
B=b\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=b(|1\rangle\langle2|+|2\rangle\langle1|)
com a,b\in\mathbb{R}. O estado do sistema é
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle+|2\rangle).
O enunciado pede:
(a) calcular o comutador [A,B];
(b) calcular a relação de incerteza de Heisenberg \Delta A\,\Delta B para o estado dado (isto é, as incertezas e o produto, e comparar com o limite da desigualdade);
(c) explicar, no contexto destes dois estados, o que significa dizer que A e B não comutam.]

Passo 2

Definição e plano para (a). O comutador é definido por
[A,B]=AB-BA.
Vou calcular AB e BA explicitamente usando as matrizes dadas (no mesmo sistema de base |1\rangle,|2\rangle).

Passo 3

Cálculo de AB. Usando as matrizes:
A=a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\qquad B=b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix},
fazemos a multiplicação
AB = a b\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =ab\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Cálculo de BA. Similarmente:
BA = a b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix} =ab\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Subtraindo para obter o comutador:
[A,B]=AB-BA =ab\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix} -ab\begin{pmatrix}0&-1\\[4pt]1&0\end{pmatrix} =ab\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix}.
Podemos escrever essa matriz também como
[A,B]=2ab\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]-1&0\end{pmatrix}.
Usando a matriz de Pauli \sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\[4pt]i&0\end{pmatrix}, outra forma útil é
[A,B]=2iab\,\sigma_y,
ou ainda em forma de operadores de projeção:
[A,B]=2ab\bigl(|1\rangle\langle2|-|2\rangle\langle1|\bigr).]

Passo 6

Agora (b): recordando definições úteis. Para qualquer operador O e estado |\psi\rangle,
\langle O\rangle=\langle\psi|O|\psi\rangle,
(\Delta O)^2=\langle O^2\rangle-\langle O\rangle^2.
A desigualdade de Heisenberg na forma de Robertson é
\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\left|\langle [A,B]\rangle\right|,
onde \langle [A,B]\rangle=\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle. vou calcular \langle A\rangle,\langle A^2\rangle,\langle B\rangle,\langle B^2\rangle no estado dado.

Passo 7

Componentes do estado. Escrevendo |\psi\rangle na base |1\rangle,|2\rangle,
|\psi\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix},
ou seja c_1=c_2=\tfrac{1}{\sqrt{2}}.]

Passo 8

Cálculo de \langle A\rangle. Usando a matriz de A,
\langle A\rangle=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} a\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{a}{2}(1-1)=0.]

Passo 9

Cálculo de \langle A^2\rangle. Observamos que A^2=a^2 I porque a matriz diagonal com entradas 1 e -1 ao quadrado gera I. Assim
\langle A^2\rangle=a^2\langle\psi|\psi\rangle=a^2.
Portanto
(\Delta A)^2=\langle A^2\rangle-\langle A\rangle^2=a^2-0=a^2,
de modo que
\Delta A=|a|.

Passo 10

Cálculo de \langle B\rangle. Para B=b\sigma_x,
\langle B\rangle=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} b\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{b}{2}(1+1)=b.
Observe que |\psi\rangle é autovetor de \sigma_x com autovalor +1, por isso \langle B\rangle=b.]

Passo 11

Cálculo de \langle B^2\rangle. Como \sigma_x^2=I, temos B^2=b^2 I, então
\langle B^2\rangle=b^2.
Assim
(\Delta B)^2=b^2-b^2=0,
logo
\Delta B=0.

Passo 12

Produto das incertezas e verificação da desigualdade. Temos
\Delta A\,\Delta B=|a|\cdot 0=0.
Agora calculemos \langle [A,B]\rangle para comparar com o lado direito da desigualdade:
usando a forma matricial de [A,B]=ab\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix} e |\psi\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T,
\langle [A,B]\rangle=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix} ab\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}=0.
Portanto o limite da desigualdade é
\frac{1}{2}\left|\langle [A,B]\rangle\right|=\frac{1}{2}\cdot 0=0,
e de fato \Delta A\,\Delta B=0\ge 0 satisfaz a desigualdade (igualdade acontece aqui).]

Passo 13

Interpretação e resposta para (c). O que significa A e B não comutarem ( [A,B]\neq 0) neste contexto simples:
  • Em termos operacionais, não comutar significa que as medições de A e B não têm, em geral, um conjunto comum de autovetores; não existe uma base de estados que diagonalize simultaneamente A e B. Aqui A é proporcional a \sigma_z (autovalores \pm a) e B é proporcional a \sigma_x (autovalores \pm b); suas direções “no espaço de estados” são diferentes.
  • Fisicamente, medir A pode alterar o estado de modo a modificar resultados futuros de B (e vice-versa): a ordem das medições importa, em geral.
  • Mesmo assim, para certos estados particulares (como o nosso |\psi\rangle, que é autovetor de B), é possível ter incerteza nula em B e não nula em A. O fato de [A,B]\neq 0 não impede que exista algum estado em que \langle[A,B]\rangle=0 e/ou \Delta B=0; apenas garante que A e B não são simultaneamente mensuráveis com precisão arbitrária em todos os estados.

Resposta

(a) [A,B]=ab\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix}=2iab\,\sigma_y=2ab\bigl(|1\rangle\langle2|-|2\rangle\langle1|\bigr).\n
(b) \Delta A=|a|,\\ \Delta B=0, então \Delta A\,\Delta B=0. A desigualdade de Heisenberg dá \Delta A\,\Delta B\ge\tfrac{1}{2}|\langle[A,B]\rangle|=0, satisfeita (igualdade aqui).\n
(c) Não comutar significa que A e B não têm uma base comum de autovetores (não são diagonalizáveis simultaneamente): medições de A e B em geral interferem entre si e a ordem importa. Contudo, para estados específicos (como |\psi\rangle que é autovetor de B) pode haver incerteza zero em B mesmo com [A,B]\neq0.]

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