calcule
(a) o comutador [A, B].
(b) a relação de incerteza de Heisenberg \Delta A \Delta B.
(c) O que significa, nesse contexto simples de dois estados, dizer que A e B não comutam?
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. Temos um sistema com base ortonormal formada por |1\rangle e |2\rangle. Os operadores são
O enunciado pede:
(a) calcular o comutador [A,B];
(b) calcular a relação de incerteza de Heisenberg \Delta A\,\Delta B para o estado dado (isto é, as incertezas e o produto, e comparar com o limite da desigualdade);
(c) explicar, no contexto destes dois estados, o que significa dizer que A e B não comutam.]
Passo 2
Definição e plano para (a). O comutador é definido por
[A,B]=AB-BA.
Vou calcular AB e BA explicitamente usando as matrizes dadas (no mesmo sistema de base |1\rangle,|2\rangle).
A desigualdade de Heisenberg na forma de Robertson é
\Delta A\,\Delta B \ge \frac{1}{2}\left|\langle [A,B]\rangle\right|,
onde \langle [A,B]\rangle=\langle\psi|[A,B]|\psi\rangle. vou calcular \langle A\rangle,\langle A^2\rangle,\langle B\rangle,\langle B^2\rangle no estado dado.
Passo 7
Componentes do estado. Escrevendo |\psi\rangle na base |1\rangle,|2\rangle,
e de fato \Delta A\,\Delta B=0\ge 0 satisfaz a desigualdade (igualdade acontece aqui).]
Passo 13
Interpretação e resposta para (c). O que significa A e B não comutarem ([A,B]\neq 0) neste contexto simples:
Em termos operacionais, não comutar significa que as medições de A e B não têm, em geral, um conjunto comum de autovetores; não existe uma base de estados que diagonalize simultaneamente A e B. Aqui A é proporcional a \sigma_z (autovalores \pm a) e B é proporcional a \sigma_x (autovalores \pm b); suas direções “no espaço de estados” são diferentes.
Fisicamente, medir A pode alterar o estado de modo a modificar resultados futuros de B (e vice-versa): a ordem das medições importa, em geral.
Mesmo assim, para certos estados particulares (como o nosso |\psi\rangle, que é autovetor de B), é possível ter incerteza nula em B e não nula em A. O fato de [A,B]\neq 0 não impede que exista algum estado em que \langle[A,B]\rangle=0 e/ou \Delta B=0; apenas garante que A e B não são simultaneamente mensuráveis com precisão arbitrária em todos os estados.
Resposta
(a) [A,B]=ab\begin{pmatrix}0&2\\[4pt]-2&0\end{pmatrix}=2iab\,\sigma_y=2ab\bigl(|1\rangle\langle2|-|2\rangle\langle1|\bigr).\n
(b) \Delta A=|a|,\\ \Delta B=0, então \Delta A\,\Delta B=0. A desigualdade de Heisenberg dá \Delta A\,\Delta B\ge\tfrac{1}{2}|\langle[A,B]\rangle|=0, satisfeita (igualdade aqui).\n
(c) Não comutar significa que A e B não têm uma base comum de autovetores (não são diagonalizáveis simultaneamente): medições de A e B em geral interferem entre si e a ordem importa. Contudo, para estados específicos (como |\psi\rangle que é autovetor de B) pode haver incerteza zero em B mesmo com [A,B]\neq0.]