A equação de autovalores do Hamiltoniano de um oscilador harmônico unidimensional é dada por
H|n\rangle=E_{n}|n\rangle
onde |n\rangle são os autoestados ortonormais do Hamiltoniano H, E_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right) os autovalores de energia correspondentes, e n=0,1, \ldots
o vetor de estado normalizado de um dado oscilador harmônico unidimensional, onde \theta_{0}, \theta_{1} e \theta_{2} são constantes reais.
Calcule o valor da constante real R_{2}>0 e o valor esperado da energia desse oscilador.
Passo 1
O enunciado dá um vetor de estado já escrito na base de autoestados de energia |n\rangle:
Calcular a constante real R_{2}>0 usando a condição de normalização do estado.
Calcular o valor esperado da energia \langle H\rangle no estado |\psi\rangle.
Passo 2
Lembrança importante (aulas rápidas): um vetor de estado deve ser normalizado, isto é,
\langle\psi|\psi\rangle=1.
Se o estado está escrito na base ortonormal |n\rangle com coeficientes complexos c_{n}, então \langle\psi|\psi\rangle=\sum_{n}|c_{n}|^{2}. Aqui os coeficientes são c_{0}=\sqrt{0,5}\,e^{i\theta_{0}}, c_{1}=\sqrt{0,3}\,e^{i\theta_{1}} e c_{2}=R_{2}\,e^{i\theta_{2}}. As fases complexas e^{i\theta_{k}} têm módulo 1, então não afetam |c_{k}|^{2}.
Aplicando a normalização:
|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1.
Passo 3
Calcule explicitamente os quadrados dos módulos dos coeficientes:
(se quiser uma aproximação numérica: \sqrt{0,2}\approx0,4472, mas a forma exata \sqrt{0,2} é suficiente).
Passo 5
Agora vamos calcular o valor esperado da energia. Lembrete teórico: o valor esperado de um observável A num estado |\psi\rangle é
\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
Quando A=H e usamos a base de autoestados de H (ortonormal), existe uma simplificação útil: se |\psi\rangle=\sum_{n} c_{n}|n\rangle e H|n\rangle=E_{n}|n\rangle, então
\langle H\rangle=\sum_{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.
Explicação curta do porquê: ao expandir \langle\psi|H|\psi\rangle=\sum_{m,n}c_{m}^{*}c_{n}\langle m|H|n\rangle e usar H|n\rangle=E_{n}|n\rangle obtemos \sum_{m,n}c_{m}^{*}c_{n}E_{n}\langle m|n\rangle. Como \langle m|n\rangle=\delta_{mn} (ortonormalidade), apenas os termos com m=n sobrevivem, ficando \sum_{n}|c_{n}|^{2}E_{n}. Note que as fases e^{i\theta_{n}} cancelam nos módulos ao quadrado, por isso \langle H\rangle depende só das probabilidades |c_{n}|^{2}.
Passo 6
Aplique a fórmula com n=0,1,2. Temos |c_{0}|^{2}=0,5, |c_{1}|^{2}=0,3 e |c_{2}|^{2}=0,2. E E_{n}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right). Então