A equação de autovalores do Hamiltoniano de um oscilador harmônico unidimensional é dada por
H|n\rangle=E_{n}|n\rangle
onde |n\rangle são os autoestados ortonormais do Hamiltoniano H, E_{n}=\hbar \omega\left(n+\frac{1}{2}\right) os autovalores de energia correspondentes, e n=0,1, \ldots
Seja
|\psi\rangle=\sqrt{0,5} e^{i \theta_{0}}|0\rangle+\sqrt{0,3} e^{i \theta_{1}}|1\rangle+R_{2} e^{i \theta_{2}}|2\rangle
o vetor de estado normalizado de um dado oscilador harmônico unidimensional, onde \theta_{0}, \theta_{1} e \theta_{2} são constantes reais.
Calcule o valor da constante real R_{2}>0 e o valor esperado da energia desse oscilador.

Passo 1

O enunciado dá um vetor de estado já escrito na base de autoestados de energia |n\rangle:
|\psi\rangle=\sqrt{0,5}\, e^{i \theta_{0}}|0\rangle+\sqrt{0,3}\, e^{i \theta_{1}}|1\rangle+R_{2}\, e^{i \theta_{2}}|2\rangle,
onde \theta_{0},\theta_{1},\theta_{2} são reais e R_{2}>0 é uma constante real desconhecida. Também é dada a relação de autovalores do Hamiltoniano:
H|n\rangle=E_{n}|n\rangle,\qquad E_{n}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right),\quad n=0,1,2,\ldots
As perguntas são:
  1. Calcular a constante real R_{2}>0 usando a condição de normalização do estado.
  2. Calcular o valor esperado da energia \langle H\rangle no estado |\psi\rangle.

Passo 2

Lembrança importante (aulas rápidas): um vetor de estado deve ser normalizado, isto é,
\langle\psi|\psi\rangle=1.
Se o estado está escrito na base ortonormal |n\rangle com coeficientes complexos c_{n}, então \langle\psi|\psi\rangle=\sum_{n}|c_{n}|^{2}. Aqui os coeficientes são c_{0}=\sqrt{0,5}\,e^{i\theta_{0}}, c_{1}=\sqrt{0,3}\,e^{i\theta_{1}} e c_{2}=R_{2}\,e^{i\theta_{2}}. As fases complexas e^{i\theta_{k}} têm módulo 1, então não afetam |c_{k}|^{2}.
Aplicando a normalização:
|c_{0}|^{2}+|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1.

Passo 3

Calcule explicitamente os quadrados dos módulos dos coeficientes:
|c_{0}|^{2}=\left|\sqrt{0,5}\,e^{i\theta_{0}}\right|^{2}=0,5,
|c_{1}|^{2}=\left|\sqrt{0,3}\,e^{i\theta_{1}}\right|^{2}=0,3,
|c_{2}|^{2}=\left|R_{2}\,e^{i\theta_{2}}\right|^{2}=R_{2}^{2}.
Substituindo na condição de normalização:
0,5+0,3+R_{2}^{2}=1.

Passo 4

Resolva para R_{2}^{2}:
R_{2}^{2}=1-(0,5+0,3)=1-0,8=0,2.
Como R_{2}>0, tomamos a raiz positiva:
R_{2}=\sqrt{0,2}.
(se quiser uma aproximação numérica: \sqrt{0,2}\approx0,4472, mas a forma exata \sqrt{0,2} é suficiente).

Passo 5

Agora vamos calcular o valor esperado da energia. Lembrete teórico: o valor esperado de um observável A num estado |\psi\rangle é
\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle.
Quando A=H e usamos a base de autoestados de H (ortonormal), existe uma simplificação útil: se |\psi\rangle=\sum_{n} c_{n}|n\rangle e H|n\rangle=E_{n}|n\rangle, então
\langle H\rangle=\sum_{n}|c_{n}|^{2}E_{n}.
Explicação curta do porquê: ao expandir \langle\psi|H|\psi\rangle=\sum_{m,n}c_{m}^{*}c_{n}\langle m|H|n\rangle e usar H|n\rangle=E_{n}|n\rangle obtemos \sum_{m,n}c_{m}^{*}c_{n}E_{n}\langle m|n\rangle. Como \langle m|n\rangle=\delta_{mn} (ortonormalidade), apenas os termos com m=n sobrevivem, ficando \sum_{n}|c_{n}|^{2}E_{n}. Note que as fases e^{i\theta_{n}} cancelam nos módulos ao quadrado, por isso \langle H\rangle depende só das probabilidades |c_{n}|^{2}.

Passo 6

Aplique a fórmula com n=0,1,2. Temos |c_{0}|^{2}=0,5, |c_{1}|^{2}=0,3 e |c_{2}|^{2}=0,2. E E_{n}=\hbar\omega\left(n+\tfrac{1}{2}\right). Então
\langle H\rangle=0,5\,E_{0}+0,3\,E_{1}+0,2\,E_{2}.
Substituindo os E_{n}:
E_{0}=\hbar\omega\left(0+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}\hbar\omega,
E_{1}=\hbar\omega\left(1+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{3}{2}\hbar\omega,
E_{2}=\hbar\omega\left(2+\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{5}{2}\hbar\omega.
Logo
\langle H\rangle=0,5\cdot\tfrac{1}{2}\hbar\omega+0,3\cdot\tfrac{3}{2}\hbar\omega+0,2\cdot\tfrac{5}{2}\hbar\omega.

Passo 7

Calcule cada termo passo a passo:
0,5\cdot\tfrac{1}{2}\hbar\omega=0,25\,\hbar\omega,
0,3\cdot\tfrac{3}{2}\hbar\omega=0,3\cdot1,5\,\hbar\omega=0,45\,\hbar\omega,
0,2\cdot\tfrac{5}{2}\hbar\omega=0,2\cdot2,5\,\hbar\omega=0,5\,\hbar\omega.
Somando:
\langle H\rangle=(0,25+0,45+0,5)\hbar\omega=1,20\,\hbar\omega.
Podemos escrever de forma mais compacta:
\langle H\rangle=1,2\,\hbar\omega.

Resposta

R_{2}=\sqrt{0,2}
\langle H\rangle=1,2\,\hbar\omega

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