Considere o sistema de amortização do pagamento de uma dívida. O pagamento é realizado ao final de cada mês. O valor da dívida ao final de cada mês pode ser modelado pela Equação a Diferenças (EaD):
em que representa a taxa de juros mensal, o valor da dívida em um dado mês , e o valor da mensalidade de amortização (entrada). Além disso, sabe-se que o valor da dívida é de R$1.800,00, a taxa de juros é 3% ao mês (36% ao ano) e a mensalidade é de 250,00$.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada para esse caso;
b) Obtenha a solução analítica para (em função de ), por meio de transformada Z;
c) Determine o valor restante da dívida após 8 parcelas.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema de amortização modelado pela Equação a Diferenças
y[k+1] = (1+i),y[k] ;-; uin
onde i é a taxa de juros mensal, y[k] o saldo devedor após k meses, e uin o valor da prestação mensal. Sabe-se que y[0]=1800, i=0,03 e uin=250.
a) Precisamos escrever uin[k] como um sinal em função de k.
b) Vamos usar a transformada Z para obter y[k] em função de k.
c) Por fim, calculamos y[8].

Passo 2

O pagamento mensal é constante de R$ 250 para todo mês a partir de k=0. Logo podemos definir
uin[k] = 250 cdot u[k],
onde u[k] é o degrau unitário ( u[k]=1 para k>=0).

Passo 3

Aplicando a transformada Z em ambos os lados de
y[k+1] = (1+i),y[k] ;-; uin[k]
usamos
Zy[k+1] = z,Y(z) - z,y[0]
e
Zuin[k] = U(z).
Obtemos
z,Y(z) - z,y[0] = (1+i),Y(z) ;-; U(z) Longrightarrow Y(z),l(z-(1+i)r) = z,y[0] ;-; U(z)

Passo 4

Sabemos que
U(z) ;=;Z250,u[k] = 250,zz-1
Logo
Y(z) = z,y[0],z-(1+i), ;-; 250;z(z-1),l(z-(1+i)r)
Para inverter em k, note que, com a=1+i, vale a identidade de frações parciais
z(z-1)(z-a) = 1a-1,l(zz-1-zz-ar)
Substituindo em Y(z) e usando
Z^-1tfraczz-a=a^k,
Z^-1tfraczz-1=1,
chegamos à solução no domínio do tempo:
y[k] = y[0];a^k ;-; 250;1a-1,l(1^k - a^kr)

Passo 5

Como a=1+i=1,03 e a-1=i=0,03, podemos escrever
y[k] = l(y[0]-tfrac2500,03r),(1,03)^k ;+; tfrac2500,03

Passo 6

Substituindo y[0]=1800, obtemos
y[k] = l(1800 - 8333,33l),(1,03)^k + 8333,33 = -6533,33,(1,03)^k + 8333,33

Passo 7

Para k=8:
(1,03)^8 approx 1,2678 Longrightarrow y[8] = -6533,33times1,2678 + 8333,33 approx 53,33

Resposta

a) uin[k]=250,u[k].
b)
y[k] = l(y[0]-tfracuinir),(1+i)^k +tfracuini,
com y[0]=1800, i=0,03, uin=250.
c) y[8]approx R$,53,33.

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