Considere o sistema de amortização do pagamento de uma dívida. O pagamento é realizado ao final de cada mês. O valor da dívida ao final de cada mês pode ser modelado pela Equação a Diferenças (EaD):
em que
representa a taxa de juros mensal,
o valor da dívida em um dado mês
, e
o valor da mensalidade de amortização (entrada). Além disso, sabe-se que o valor da dívida é de R$1.800,00, a taxa de juros é 3% ao mês (36% ao ano) e a mensalidade é de
250,00$.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
para esse caso;
b) Obtenha a solução analítica para
(em função de
), por meio de transformada Z;
c) Determine o valor restante da dívida após 8 parcelas.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
b) Obtenha a solução analítica para
c) Determine o valor restante da dívida após 8 parcelas.
Passo 1
O enunciado trata de um sistema de amortização modelado pela Equação a Diferenças
onde
é a taxa de juros mensal,
o saldo devedor após
meses, e
o valor da prestação mensal. Sabe-se que
,
e
.
a) Precisamos escrever como um sinal em função de
.
b) Vamos usar a transformada Z para obter em função de
.
c) Por fim, calculamos .
a) Precisamos escrever
b) Vamos usar a transformada Z para obter
c) Por fim, calculamos
Passo 2
O pagamento mensal é constante de R$
para todo mês a partir de
. Logo podemos definir
onde
é o degrau unitário (
para
).
Passo 3
Aplicando a transformada Z em ambos os lados de
usamos
e
.
Obtemos
e
Obtemos
Passo 4
Sabemos que
Logo
Para inverter em
, note que, com
, vale a identidade de frações parciais
Substituindo em
e usando
,
,
chegamos à solução no domínio do tempo:
chegamos à solução no domínio do tempo:
Passo 5
Como
e
, podemos escrever
Passo 6
Substituindo
, obtemos
Passo 7
Para
:
Resposta
a)
.
b)
b)
com
,
,
.
c) .
c)