Considere uma família com renda mensal
, proveniente de um salário fixo
2.500,00, u
i=0,6 %
c
j=0,8$, e fixo. Nesse caso, as finanças da família podem ser modeladas por:
- Poupança:
,
- Renda:
,
- Consumo:
.
Considere que a família começou com essa renda a partir de
, e que não havia poupança antes deste rendimento.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
para esse caso;
b) Obtenha a solução analítica para a poupança
(em função de
), por meio de transformada Z;
c) Determine o valor da poupança no 50 mês;
d) Escreva um código em Matlab para realizar as 24 primeiras iterações da EaD;
e) Altere a taxa de gasto mensal da família para
e obtenha o valor final da poupança.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada
b) Obtenha a solução analítica para a poupança
c) Determine o valor da poupança no 50 mês;
d) Escreva um código em Matlab para realizar as 24 primeiras iterações da EaD;
e) Altere a taxa de gasto mensal da família para
Passo 1
O enunciado trata de um sistema discreto que modela a evolução da poupança
onde ,
é a taxa de rendimento da poupança,
é a fração da renda gasta, e
. O conteúdo envolve diferença de primeira ordem e transformada
para obter solução analítica.
Passo 2
Modelando o sinal de entrada
como uma sequência constante, temos
Passo 3
Substituindo na dinâmica, primeiro obtemos
Logo
Denotando
e
, fica
Passo 4
Aplicando transformada
:
Da equação diferença
Fazendo expansão em frações parciais ou usando forma padrão, obtém-se a inversa
Substituindo
e
,
Passo 5
Para
,
Logo, a poupança no 50º mês é aproximadamente
.
Passo 6
Código Matlab para as 24 primeiras iterações:
Passo 7
Se alterarmos
, refazendo o Passo 3 surge
ou seja
,
, e
Em particular, para
(ou
) obtém-se o valor final da poupança com
.
Resposta
a)
.
b)
c)
d) Código Matlab conforme o Passo 6.
e) Com ,
b)
c)
d) Código Matlab conforme o Passo 6.
e) Com