Considere uma família com renda mensal r, proveniente de um salário fixo R 2.500,00, u , mais o rendimento da caderneta de poupança do mês anterior, çêi=0,6 % Supondo que o gasto mensal desta família, íc , seja proporcional à renda mensal, àj=0,8$, e fixo. Nesse caso, as finanças da família podem ser modeladas por:
  • Poupança: , e fixo Nesse caso, as finanças da família podem ser modeladas por: - Poupança: ,
  • Renda: , - Renda: ,
  • Consumo: , - Consumo: .
Considere que a família começou com essa renda a partir de Considere que a família começou com essa renda a partir de , e que não havia poupança antes deste rendimento.
a) Como pode ser modelado o sinal de entrada , e que não havia poupança antes deste rendimento a) Como pode ser modelado o sinal de entrada para esse caso;
b) Obtenha a solução analítica para a poupança para esse caso; b) Obtenha a solução analítica para a poupança (em função de (em função de ), por meio de transformada Z;
c) Determine o valor da poupança no 50 mês;
d) Escreva um código em Matlab para realizar as 24 primeiras iterações da EaD;
e) Altere a taxa de gasto mensal da família para ), por meio de transformada Z; c) Determine o valor da poupança no 50 mês; d) Escreva um código em Matlab para realizar as 24 primeiras iterações da EaD; e) A<ere a taxa de gasto mensal da família para e obtenha o valor final da poupança.

Passo 1

O enunciado trata de um sistema discreto que modela a evolução da poupança
onde , é a taxa de rendimento da poupança, é a fração da renda gasta, e . O conteúdo envolve diferença de primeira ordem e transformada para obter solução analítica.

Passo 2

Modelando o sinal de entrada uin[k] = u como uma sequência constante, temos
uin[k] = 2500, forall k>=0

Passo 3

Substituindo na dinâmica, primeiro obtemos
r[k+1]=2500 + 0,006,p[k], c[k+1]=0,8,r[k+1]
Logo
p[k+1]=p[k]+(1-0,8),r[k+1] =p[k]+0,2l(2500+0,006,p[k]r) =(1+0,0012),p[k]+500
Denotando a=1,0012 e b=500, fica
p[k+1]-a,p[k]=b, p[0]=0

Passo 4

Aplicando transformada Z:
Zp[k+1]=zP(z)-z,p[0], Zp[k]=P(z), Z1=zz-1
Da equação diferença
zP(z)-aP(z)=b,zz-1,
P(z),(z-a)=bzz-1 Longrightarrow P(z)=b,z(z-a)(z-1)
Fazendo expansão em frações parciais ou usando forma padrão, obtém-se a inversa
p[k] =ba-1l(a^k-1r)
Substituindo a=1,0012 e b=500,
boxedp[k]=5000,0012l(1,0012^,k-1r)

Passo 5

Para k=50,
1,0012^50approx e^50ln(1,0012)approx1,06179,
p[50]=5000,0012l(1,06179-1r) approx416,666,67times0,06179approx25,746
Logo, a poupança no 50º mês é aproximadamente R$,25,746.

Passo 6

Código Matlab para as 24 primeiras iterações:
ttu=2500; i=0.006; j=0.8; N=24; ttp=zeros(1,N+1); r=zeros(1,N+1); c=zeros(1,N+1); ttp(1)=0; ttfor k=1:N ttr(k+1)=u + i*p(k); ttc(k+1)=j*r(k+1); ttp(k+1)=p(k) + (r(k+1)-c(k+1)); ttend ttp, r, c

Passo 7

Se alterarmos j=0,7, refazendo o Passo 3 surge
p[k+1]=(1+0,7times0,006),p[k]+(1-0,7),2500 =(1+0,0042),p[k]+750
ou seja a'=1,0042, b'=750, e
p[k]=7500,0042l(1,0042^k-1r)
Em particular, para k=24 (ou k=50) obtém-se o valor final da poupança com j=0,7.

Resposta

a) uin[k]=2500,;forall k.
b) p[k]=5000,0012l(1,0012^k-1r)
c) p[50]approxR$,25,746
d) Código Matlab conforme o Passo 6.
e) Com j=0,7,
p[k]=7500,0042l(1,0042^k-1r)

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