Considere o sistema de armazém de stock, onde
é o inventário,
as vendas,
as encomendas, d é o atraso na entrega das encomendas e n=dias.
Mostre que o sistema é linear, invariante no tempo e causal
Passo 1
O enunciado descreve um sistema discreto de inventário cuja equação de diferença é
onde
e
são sinais de entrada (encomendas e vendas) e
é o sinal de saída (inventário). Vamos mostrar que esse sistema é linear, invariante no tempo e causal, usando os conceitos de superposição, invariância a deslocamentos e dependência apenas de entradas presentes ou passadas.
Passo 2
Para provar linearidade, consideremos dois pares de entradas
e
que geram saídas
e
segundo
Tomemos escalares
e
e definamos as entradas combinadas
Então a saída correspondente
satisfaz
Reagrupando termos, tem-se
Isso demonstra a propriedade de superposição, logo o sistema é linear.
Passo 3
Para provar invariância no tempo, imaginemos deslocar todas as entradas em
amostras: definimos
A saída original
satisfaz
Se o sistema for invariante no tempo, a saída deslocada
obtida a partir de
deve ser
. De fato, inserindo
e
na equação, obtemos
Mas
, de modo que por indução verifica-se
. Assim, qualquer deslocamento nas entradas causa o mesmo deslocamento na saída, provando invariância no tempo.
Passo 4
Para mostrar causalidade, basta observar de quais valores de entrada
e
depende a saída
. A equação
usa apenas
(saída passada),
e
. Se
, então
, o que significa que
é um valor de entrada no instante presente ou passado, e
é a entrada no instante presente. Não há nenhuma referência a valores futuros
ou
com
. Logo, o sistema é causal.
Resposta
O sistema é linear (satisfaz superposição), invariante no tempo (resposta deslocada coincide com deslocamento da saída) e causal (depende só de entradas presentes ou passadas).