Considere o sistema de armazém de stock, onde I é o inventário, V as vendas, E as encomendas, d é o atraso na entrega das encomendas e n=dias.
I(n)=I(n-1)+E(n-d)-V(n)
Mostre que o sistema é linear, invariante no tempo e causal

Passo 1

O enunciado descreve um sistema discreto de inventário cuja equação de diferença é
I(n)=I(n-1)+E(n-d)-V(n),
onde \{E(n)\} e \{V(n)\} são sinais de entrada (encomendas e vendas) e \{I(n)\} é o sinal de saída (inventário). Vamos mostrar que esse sistema é linear, invariante no tempo e causal, usando os conceitos de superposição, invariância a deslocamentos e dependência apenas de entradas presentes ou passadas.

Passo 2

Para provar linearidade, consideremos dois pares de entradas \bigl(E_{1}(n),V_{1}(n)\bigr) e \bigl(E_{2}(n),V_{2}(n)\bigr) que geram saídas I_{1}(n) e I_{2}(n) segundo
I_{k}(n)=I_{k}(n-1)+E_{k}(n-d)-V_{k}(n),\quad k=1,2.
Tomemos escalares \alpha e \beta e definamos as entradas combinadas
E(n)=\alpha\,E_{1}(n)+\beta\,E_{2}(n),\quad V(n)=\alpha\,V_{1}(n)+\beta\,V_{2}(n).
Então a saída correspondente I(n) satisfaz
\begin{aligned} I(n)&=I(n-1)+E(n-d)-V(n)\\\ &=\bigl[\alpha\,I_{1}(n-1)+\beta\,I_{2}(n-1)\bigr] +\bigl[\alpha\,E_{1}(n-d)+\beta\,E_{2}(n-d)\bigr] -\bigl[\alpha\,V_{1}(n)+\beta\,V_{2}(n)\bigr]. \end{aligned}
Reagrupando termos, tem-se
I(n)=\alpha\bigl[I_{1}(n-1)+E_{1}(n-d)-V_{1}(n)\bigr] +\beta\bigl[I_{2}(n-1)+E_{2}(n-d)-V_{2}(n)\bigr] =\alpha\,I_{1}(n)+\beta\,I_{2}(n).
Isso demonstra a propriedade de superposição, logo o sistema é linear.

Passo 3

Para provar invariância no tempo, imaginemos deslocar todas as entradas em k amostras: definimos
\tilde E(n)=E(n-k), \quad \tilde V(n)=V(n-k).
A saída original \{I(n)\} satisfaz
I(n)=I(n-1)+E(n-d)-V(n).
Se o sistema for invariante no tempo, a saída deslocada \tilde I(n) obtida a partir de \tilde E,\tilde V deve ser \tilde I(n)=I(n-k). De fato, inserindo \tilde E e \tilde V na equação, obtemos
\tilde I(n)=\tilde I(n-1)+\tilde E(n-d)-\tilde V(n) =\tilde I(n-1)+E(n-k-d)-V(n-k).
Mas \tilde I(n-1)=I(n-1-k), de modo que por indução verifica-se \tilde I(n)=I(n-k). Assim, qualquer deslocamento nas entradas causa o mesmo deslocamento na saída, provando invariância no tempo.

Passo 4

Para mostrar causalidade, basta observar de quais valores de entrada E e V depende a saída I(n). A equação
I(n)=I(n-1)+E(n-d)-V(n)
usa apenas I(n-1) (saída passada), E(n-d) e V(n). Se d\ge0, então n-d\le n, o que significa que E(n-d) é um valor de entrada no instante presente ou passado, e V(n) é a entrada no instante presente. Não há nenhuma referência a valores futuros E(n+\ell) ou V(n+\ell) com \ell>0. Logo, o sistema é causal.

Resposta

O sistema é linear (satisfaz superposição), invariante no tempo (resposta deslocada coincide com deslocamento da saída) e causal (depende só de entradas presentes ou passadas).

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