Plotar os seguintes sinais:
x(t)=\mathbb{1}(t) \mathbb{1}(\theta-t), t \in \mathbf{R}, \operatorname{com} \theta \in \mathbf{R}𝟙𝟙 (fixo)

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o sinal
x(t)=\mathbb{1}(t)\,\mathbb{1}(\theta - t),𝟙𝟙
onde \mathbb{1}(\cdot)𝟙 é a função indicadora (ou passo de Heaviside) e \theta é um parâmetro fixo em \mathbb{R}. Para plotar, vamos primeiro entender para quais valores de t cada fator vale 1 ou 0.

Passo 2

Lembrando a definição de passo de Heaviside via função indicadora:
\mathbb{1}(t)= \begin{cases} 1, & t\ge0,\\\\ 0, & t<0, \end{cases} \qquad \mathbb{1}(\theta - t)= \begin{cases} 1, & \theta - t \ge 0 \;\Leftrightarrow\; t\le \theta,\\\\ 0, & t>\theta. \end{cases}𝟙𝟙

Passo 3

O produto x(t)=\mathbb{1}(t)\,\mathbb{1}(\theta - t)𝟙𝟙 vale 1 exatamente quando ambas as condições se verificam simultaneamente, ou seja
t\ge0 \quad\text{e}\quad t\le \theta.
Caso contrário, o produto é zero.

Passo 4

Depende do sinal de \theta:
  • Se \theta<0, não existe t que seja simultaneamente \ge0 e \le\theta<0. Logo x(t)=0 para todo t.
  • Se \theta=0, só em t=0 ambas dão 1, logo é um pulso unitário em t=0.
  • Se \theta>0, temos um pulso retangular de amplitude 1 no intervalo [0,\theta] e zero fora. Formalmente
x(t)= \begin{cases} 1, & 0 \le t \le \theta,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}á

Passo 5

Para desenhar, em cada caso marcamos o eixo t horizontal e x(t) vertical:
  • \theta<0: linha em zero o todo domínio.
  • \theta=0: valor 1 apenas em t=0 (pulso unitário).
  • \theta>0: salto em t=0 de 0 para 1, mantém x(t)=1 até t=\theta, e em seguida salta de volta para 0.

Resposta

Para \theta>0\), o gráfico de \(x(t)\) é um pulso retangular de altura 1 em \([0,\theta]\). Em notação de partes: \[x(t)= \begin{cases} 1, & 0\le t\le \theta,\\\\ 0, & \text{caso contrário}. \end{cases}
Para \theta=0\], \(x(t) é um pulso em t=0. Para \theta<0, x(t)\equiv0.

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