Questão 6: Projeto de Circuitos Combinacionais. 3,0 pontos.
Projete uma rede mínima que tenha três entradas binárias e cuja saída represente o número de variáveis de entrada que têm valor 1. Ou seja:
  • Entradas: \left(x_{2}, x_{1}, x_{0}\right), x_{i} \in\{0,1\}
  • Saída: z \in\{0,1,2,3\}
  • Função: z=\sum_{i=0}^{2} x_{i}

Passo 1

O problema pede um circuito combinacional que conte quantas das três entradas \left(x_{2},x_{1},x_{0}\right) valem 1 e apresente esse total em saída binária de dois bits, digamos z_{1} (bit mais significativo) e z_{0} (bit menos significativo). Para projetar a rede mínima, vamos:
1. montar a tabela verdade;
2. encontrar expressões simplificadas para z_{1} e z_{0} (por K-mapa ou observação);
3. mostrar o circuito lógico usando essas expressões.

Passo 2

Tabela-verdade das entradas e saídas (total de uns em binário):
\begin{array}{c c c \;|\; c c} x_{2} & x_{1} & x_{0} & z_{1} & z_{0} \\\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}

Passo 3

Para z_{0}, observamos que ele vale 1 sempre que o número de uns nas entradas é ímpar (paridade). Pelos mintermos,
z_{0}=\sum m(1,2,4,7),
o que simplifica diretamente para
z_{0}=x_{0}\oplus x_{1}\oplus x_{2}.

Passo 4

Para z_{1}, ele vale 1 sempre que há dois ou três uns, ou seja, nos mintermos 3,5, 6,7:
z_{1}=\sum m(3,5,6,7).
Usando mapa de Karnaugh ou agrupamentos, chega-se à forma mínima
z_{1}=x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2}.
Uma implementação ainda mais econômica (reaproveitando x_{0}\oplus x_{1}) é
z_{1}=x_{0}x_{1}+\,x_{2}\,(x_{0}\oplus x_{1}).

Passo 5

Circuito mínimo sugerido:
1. t = x_{0}\oplus x_{1} (XOR).
2. z_{0}=t\oplus x_{2} (XOR).
3. g=x_{0}\cdot x_{1} (AND).
4. h=t\cdot x_{2} (AND).
5. z_{1}=g\,+\,h (OR).

Resposta

z_{0}=x_{0}\oplus x_{1}\oplus x_{2},\quad z_{1}=x_{0}x_{1}+x_{0}x_{2}+x_{1}x_{2}.

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