Considere o sistema de controle de nível de um tanque
sendo
Onde H altura, Fe vazão de entrada e Fs vazão de saída. A=área da base do tanque, e k são constantes do modelo. Neste sistema H é a variável de processo e Fe a variável manipulada.
a) O sistema é linear? O sistema é invariante e causal?
b) Encontre uma condição para obter um ponto de operação do tanque com nível constante. Desenhe as características estáticas deste sistema (H como função de Fe).
c) Encontre o modelo do sistema linearizado nas vizinhanças do ponto de operação escolhido.
a) O sistema é linear? O sistema é invariante e causal?
b) Encontre uma condição para obter um ponto de operação do tanque com nível constante. Desenhe as características estáticas deste sistema (H como função de Fe).
c) Encontre o modelo do sistema linearizado nas vizinhanças do ponto de operação escolhido.
Passo 1
O enunciado dá a equação dinâmica do nível
de um tanque com área de base
, vazão de entrada
e vazão de saída
isto é,
O conteúdo envolve análise de linearidade, invariância, causalidade, cálculo de ponto de operação (equilíbrio estático), característica estática e linearização por expansão de Taylor em torno desse ponto.
Passo 2
Para ver se o sistema é linear, note que a saída efetiva
aparece dentro de
. Como a raiz quadrada não satisfaz o princípio de superposição (nem homogeneidade nem aditividade), o sistema não é linear.
Os parâmetros e
são constantes no tempo, logo o sistema é invariante (time‐invariant).
A dinâmica atual de depende apenas de valores passados e presentes de
e de
, sem antecipar valores futuros, portanto o sistema é causal.
Os parâmetros
A dinâmica atual de
Passo 3
Um ponto de operação (equilíbrio estático) é dado por
. Chamando de
e
os valores constantes neste ponto, temos
Passo 4
A característica estática relaciona
a
sem dinâmica. Da expressão de equilíbrio vem
Em um gráfico
versus
surge uma curva quadrática que passa pela origem, crescente e simétrica em
: para cada vazão de entrada maior, o nível cresce como o quadrado dessa vazão.
Passo 5
Para linearizar, definimos pequenas variações
e
.
Escrevemos
Escrevemos
e como
é constante sobra
Usando expansão de Taylor para
em torno de
:
logo a parte não‐linear fica
Portanto o modelo linearizado é
Em domínio de Laplace, assumindo zero condições iniciais,
Resposta
a) O sistema não é linear, mas é invariante e causal.
b) No ponto de operação constante vale
b) No ponto de operação constante vale
e a característica estática é a curva quadrática
.
c) O modelo linearizado em torno de é
c) O modelo linearizado em torno de
ou em Laplace