Considere o sistema de controle de nível de um tanque
A d H(t) / d t=F e(t)-F s(t) \quad sendo F s(t)=k H(t)^{1 / 2}
Onde H altura, Fe vazão de entrada e Fs vazão de saída. A=área da base do tanque, e k são constantes do modelo. Neste sistema H é a variável de processo e Fe a variável manipulada.
a) O sistema é linear? O sistema é invariante e causal?
b) Encontre uma condição para obter um ponto de operação do tanque com nível constante. Desenhe as características estáticas deste sistema (H como função de Fe).
c) Encontre o modelo do sistema linearizado nas vizinhanças do ponto de operação escolhido.

Passo 1

O enunciado dá a equação dinâmica do nível H(t) de um tanque com área de base A, vazão de entrada F_e(t) e vazão de saída
F_s(t)=k\,\sqrt{H(t)}\,,
isto é,
A\,\frac{dH(t)}{dt}=F_e(t)-k\,\sqrt{H(t)}.
O conteúdo envolve análise de linearidade, invariância, causalidade, cálculo de ponto de operação (equilíbrio estático), característica estática e linearização por expansão de Taylor em torno desse ponto.

Passo 2

Para ver se o sistema é linear, note que a saída efetiva H(t) aparece dentro de \sqrt{H(t)}. Como a raiz quadrada não satisfaz o princípio de superposição (nem homogeneidade nem aditividade), o sistema não é linear.
Os parâmetros A e k são constantes no tempo, logo o sistema é invariante (time‐invariant).
A dinâmica atual de H(t) depende apenas de valores passados e presentes de F_e(t) e de H(t), sem antecipar valores futuros, portanto o sistema é causal.

Passo 3

Um ponto de operação (equilíbrio estático) é dado por \frac{dH}{dt}=0. Chamando de H_0 e F_{e0} os valores constantes neste ponto, temos
0 = F_{e0} - k\,\sqrt{H_0} \quad\Longrightarrow\quad F_{e0}=k\,\sqrt{H_0} \quad\Longrightarrow\quad H_0=\Bigl(\frac{F_{e0}}{k}\Bigr)^{2}.

Passo 4

A característica estática relaciona H_0 a F_{e0} sem dinâmica. Da expressão de equilíbrio vem
H_0=\Bigl(\frac{F_{e0}}{k}\Bigr)^{2}.
Em um gráfico H_0 versus F_{e0} surge uma curva quadrática que passa pela origem, crescente e simétrica em F_{e0}\ge0: para cada vazão de entrada maior, o nível cresce como o quadrado dessa vazão.

Passo 5

Para linearizar, definimos pequenas variações
\displaystyle h(t)=H(t)-H_0 e \displaystyle f_e(t)=F_e(t)-F_{e0}.
Escrevemos
A\,\frac{d(H_0+h)}{dt} = F_{e0}+f_e - k\sqrt{H_0+h}
e como H_0 é constante sobra
A\,\frac{dh}{dt} = f_e - k\bigl(\sqrt{H_0+h}-\sqrt{H_0}\bigr).
Usando expansão de Taylor para \sqrt{H_0+h} em torno de h=0:
\sqrt{H_0+h}\approx \sqrt{H_0}+\frac{1}{2\sqrt{H_0}}\,h,
logo a parte não‐linear fica
k\bigl(\sqrt{H_0+h}-\sqrt{H_0}\bigr) \approx \frac{k}{2\sqrt{H_0}}\,h.
Portanto o modelo linearizado é
A\,\frac{dh}{dt} = f_e - \frac{k}{2\sqrt{H_0}}\,h \quad\Longrightarrow\quad A\,\frac{dh}{dt} + \frac{k}{2\sqrt{H_0}}\,h = f_e.
Em domínio de Laplace, assumindo zero condições iniciais,
H(s)\bigl/A(s)\bigr. = \frac{1}{A\,s + \tfrac{k}{2\sqrt{H_0}}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{H(s)}{F_e(s)}=\frac{1}{A\,s + \frac{k}{2\sqrt{H_0}}}.

Resposta

a) O sistema não é linear, mas é invariante e causal.
b) No ponto de operação constante vale
0=\frac{dH}{dt}\;\Longrightarrow\;F_{e0}=k\sqrt{H_0} \;\Longrightarrow\;H_0=\Bigl(\tfrac{F_{e0}}{k}\Bigr)^{2},
e a característica estática é a curva quadrática H_0=(F_{e0}/k)^{2}.
c) O modelo linearizado em torno de (H_0,F_{e0}) é
A\,\frac{dh}{dt} + \frac{k}{2\sqrt{H_0}}\,h = f_e,
ou em Laplace
\frac{H(s)}{F_e(s)}=\frac{1}{A\,s + \tfrac{k}{2\sqrt{H_0}}}\,.

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