projetar um regulador por alocação de polos por realimentação de estados com observador de estados de ordem completa;
escolher os polos do controlador (realimentação) em s=-1\pm j e s=-5;
escolher os polos do observador em s=-6,-6,-6 (tríplice);
obter a função de transferência do controlador-observador.
Informações relevantes listadas:
o sistema é SISO (entrada única, saída única);
o vetor B é \begin{bmatrix}0\;0\;1\end{bmatrix}^T e C é \begin{bmatrix}1\;0\;0\end{bmatrix}, forma canônica tipo companheira (o A é matriz companheira da polinomial característica); por isso o projeto por colocação de polos será direto;
devemos calcular o ganho de estado K que coloca os polos do laço fechado em \{-1\pm j,\,-5\};
devemos calcular o ganho do observador L que coloca os polos do estimador em \{-6,-6,-6\};
a função de transferência pedida é a do controlador-observador (o compensador dinâmico que usa o observador e a realimentação de estados): é a relação entre U(s) e Y(s) quando usamos u=-K\hat{x} e \dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x}). Matematicamente a função de transferência do compensador é
(Veremos e justificaremos essa expressão nos passos seguintes.)]
Passo 2
Conceito e fórmula para projetar o ganho [K) por alocação de polos.
Breve aula: quando o sistema está em forma companheira (como aqui) e \\ B=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}^T, a realimentação de estados u=-Kx (com K=[k_1\;k_2\;k_3]) altera somente a última linha de A: a nova matriz A-BK tem a terceira linha igual à terceira linha de A menos K. Para uma matriz companheira cuja polinomial característica original é
Ou seja, k_3,k_2,k_1 somam com os coeficientes originais para obter os coeficientes do polinômio desejado. Isso decorre da estrutura companheira — é uma forma padrão e muito prática em provas.
Aplicando ao nosso caso:
a polinomial característica aberta do dado A é \Delta_{ol}(s)=s^3+6s^2+11s+6 (pelo formato da última linha [-6,-11,-6]);
a polinomial desejada para o laço fechado, com polos s=-1\pm j e s=-5, é
Portanto o ganho de estado (para (u=-Kx]) é K = \begin{bmatrix}4 & 1 & 1\end{bmatrix}.
Passo 3
Conceito e fórmula para projetar o ganho do observador L.
Breve aula: o observador de estados completo (Luenberger) tem dinâmica
\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x}).
Os polos do observador são autovalores de A - L C. Pelo princípio da dualidade (entre controle e observação), projetamos L como transposto do ganho de realimentação que deslocaria os polos de A^T com entrada C^T. Na prática, para C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix} e A companheira, é simples escrever o polinômio característico de A-LC e igualar aos coeficientes do polinômio desejado dos polos do observador.
Aqui os polos desejados do observador são -6,-6,-6, então o polinômio desejado é
(s+6)^3 = s^3 + 18 s^2 + 108 s + 216.
Vamos calcular L=[\ell_1\;\ell_2\;\ell_3]^T impondo que a polinomial de A-LC seja a acima.
Passo 4
Cálculo explícito de [L) igualando a polinomial característica de A-LC à desejada.
Primeiro escrevemos A-LC. Como C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}, a matriz L C tem a primeira coluna igual a L e demais colunas nulas, logo
L = \begin{bmatrix}12\\[4pt]25\\[4pt]-72\end{bmatrix}.
(Empatia e incentivo rápido: ótimo — apesar de muitos números, chegamos aos ganhos K\] e \(L que definem o controlador por realimentação e o observador.)]
Passo 5
Expressão do controlador-observador como um sistema dinâmico e a fórmula da função de transferência procurada.
Vamos montar o compensador dinâmico resultante quando substituímos u=-K\hat{x} no observador. A dinâmica do estimador com ação de controle torna-se
\dot{\hat{x}} = (A - L C - B K)\,\hat{x} + L\,y,
e a lei de controle é
u = -K \hat{x}.
Assim, no domínio de Laplace (com zero condição inicial), obtemos
\hat{X}(s) = \bigl(sI - (A - L C - B K)\bigr)^{-1} L\, Y(s),
e
U(s) = -K\,\hat{X}(s) = -K\bigl(sI - (A - L C - B K)\bigr)^{-1} L\,Y(s).
Logo a função de transferência do controlador-observador (compensador), vista como U(s)/Y(s), é
\boxed{\displaystyle \frac{U(s)}{Y(s)} = -K\bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr)^{-1} L.}
Nosso objetivo é calcular essa função racional explicitamente para os K e L obtidos.
Passo 6
Calculando a matriz A - B K - L C explicitamente (numérica).
Primeiro calculemos A - B K. Como B K adiciona a linha K na terceira linha de A, temos
Montando o sistema linear para calcular (sI - (A - B K - L C))^{-1} L.
Denotemos v(s) = \bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr)^{-1} L. Então v(s) satisfaz
\bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr) v(s) = L.
Escrevendo explicitamente sI - (A - B K - L C) com a matriz calculada no passo anterior:
sI - (A - B K - L C) = \begin{bmatrix} s+12 & -1 & 0\\[4pt] 25 & s & -1\\[4pt] -62 & 12 & s+7 \end{bmatrix}, \quad L=\begin{bmatrix}12\\[4pt]25\\[4pt]-72\end{bmatrix}.
Chamando v=\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{bmatrix}, obtemos o sistema linear (funcional em s):
Resolvendo o sistema para obter v_1(s),v_2(s),v_3(s).
Da primeira equação:
v_2 = (s+12)v_1 - 12.
Substituindo na segunda equação:
25 v_1 + s\bigl((s+12)v_1 - 12\bigr) - v_3 = 25
que se rearranja para
v_3 = (s^2 + 12 s +25)\,v_1 - (25 + 12 s).
Substituindo v_2 e v_3 na terceira equação e agrupando termos obtemos uma equação só para v_1. O cálculo algébrico dá (passo a passo mostrado nos cálculos intermédios):
v_1(s) = \frac{12 s^2 + 109 s + 247}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}.