Considere o sistema
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
em que
A=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ -6 & -11 & -6 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \end{array}\right] .
Projete um sistema regulador por alocação de polos com observador de estados. Assuma que a localização dos polos para a alocação são
s=-1+j \quad s=-1-j \quad s=-5
e para a observação são
s=-6 \quad s=-6 \quad s=-6 .
Obtenha a função de transferência do controlador-observador.

Passo 1

Entendendo o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
O enunciado dá um sistema de espaço de estados
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
com
A=\begin{bmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -6 & -11 & -6\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{bmatrix},\quad C=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\end{bmatrix}.
As especificações pedem:
  • projetar um regulador por alocação de polos por realimentação de estados com observador de estados de ordem completa;
  • escolher os polos do controlador (realimentação) em s=-1\pm j e s=-5;
  • escolher os polos do observador em s=-6,-6,-6 (tríplice);
  • obter a função de transferência do controlador-observador.
Informações relevantes listadas:
  • o sistema é SISO (entrada única, saída única);
  • o vetor B é \begin{bmatrix}0\;0\;1\end{bmatrix}^T e C é \begin{bmatrix}1\;0\;0\end{bmatrix}, forma canônica tipo companheira (o A é matriz companheira da polinomial característica); por isso o projeto por colocação de polos será direto;
  • devemos calcular o ganho de estado K que coloca os polos do laço fechado em \{-1\pm j,\,-5\};
  • devemos calcular o ganho do observador L que coloca os polos do estimador em \{-6,-6,-6\};
  • a função de transferência pedida é a do controlador-observador (o compensador dinâmico que usa o observador e a realimentação de estados): é a relação entre U(s) e Y(s) quando usamos u=-K\hat{x} e \dot{\hat{x}}=A\hat{x}+Bu+L(y-C\hat{x}). Matematicamente a função de transferência do compensador é
\frac{U(s)}{Y(s)} = -K\bigl(sI-(A-BK-LC)\bigr)^{-1}L.
(Veremos e justificaremos essa expressão nos passos seguintes.)]

Passo 2

Conceito e fórmula para projetar o ganho [K) por alocação de polos.
Breve aula: quando o sistema está em forma companheira (como aqui) e \\ B=\begin{bmatrix}0&0&1\end{bmatrix}^T, a realimentação de estados u=-Kx (com K=[k_1\;k_2\;k_3]) altera somente a última linha de A: a nova matriz A-BK tem a terceira linha igual à terceira linha de A menos K. Para uma matriz companheira cuja polinomial característica original é
\Delta_{ol}(s)=s^3 + p_2 s^2 + p_1 s + p_0,
o efeito de K é produzir a nova polinomial
\Delta_{cl}(s)=s^3 + (p_2 + k_3) s^2 + (p_1 + k_2) s + (p_0 + k_1).
Ou seja, k_3,k_2,k_1 somam com os coeficientes originais para obter os coeficientes do polinômio desejado. Isso decorre da estrutura companheira — é uma forma padrão e muito prática em provas.
Aplicando ao nosso caso:
  • a polinomial característica aberta do dado A é \Delta_{ol}(s)=s^3+6s^2+11s+6 (pelo formato da última linha [-6,-11,-6]);
  • a polinomial desejada para o laço fechado, com polos s=-1\pm j e s=-5, é
(s+1-j)(s+1+j)(s+5) = (s^2 + 2s + 2)(s+5) = s^3 + 7s^2 + 12s + 10.
Agora igualamos coeficientes:
\begin{cases} 6 + k_3 = 7 \\\\ 11 + k_2 = 12 \\\\ 6 + k_1 = 10 \end{cases}
logo
k_3 = 1,\quad k_2 = 1,\quad k_1 = 4.
Portanto o ganho de estado (para (u=-Kx]) é
K = \begin{bmatrix}4 & 1 & 1\end{bmatrix}.

Passo 3

Conceito e fórmula para projetar o ganho do observador L.
Breve aula: o observador de estados completo (Luenberger) tem dinâmica
\dot{\hat{x}} = A\hat{x} + Bu + L(y - C\hat{x}).
Os polos do observador são autovalores de A - L C. Pelo princípio da dualidade (entre controle e observação), projetamos L como transposto do ganho de realimentação que deslocaria os polos de A^T com entrada C^T. Na prática, para C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix} e A companheira, é simples escrever o polinômio característico de A-LC e igualar aos coeficientes do polinômio desejado dos polos do observador.
Aqui os polos desejados do observador são -6,-6,-6, então o polinômio desejado é
(s+6)^3 = s^3 + 18 s^2 + 108 s + 216.
Vamos calcular L=[\ell_1\;\ell_2\;\ell_3]^T impondo que a polinomial de A-LC seja a acima.

Passo 4

Cálculo explícito de [L) igualando a polinomial característica de A-LC à desejada.
Primeiro escrevemos A-LC. Como C=\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}, a matriz L C tem a primeira coluna igual a L e demais colunas nulas, logo
A-LC = \begin{bmatrix} 0-\ell_1 & 1 & 0 \\[4pt] 0-\ell_2 & 0 & 1 \\[4pt] -6-\ell_3 & -11 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\ell_1 & 1 & 0 \\[4pt] -\ell_2 & 0 & 1 \\[4pt] -6-\ell_3 & -11 & -6 \end{bmatrix}.
Calculamos a característica \det(sI - (A-LC)). Montando sI - (A-LC):
sI - (A-LC)= \begin{bmatrix} s+\ell_1 & -1 & 0\\[4pt] \ell_2 & s & -1\\[4pt] 6+\ell_3 & 11 & s+6 \end{bmatrix}.
Determinante (expansão pela primeira linha) dá
\begin{aligned} \Delta_{obs}(s) &= (s+\ell_1)\bigl(s(s+6)-(-1)\cdot 11\bigr) + 1\bigl(\ell_2(s+6)+6+\ell_3\bigr)\\[4pt] &=(s+\ell_1)(s^2+6s+11) + \ell_2(s+6) + 6 + \ell_3. \end{aligned}
Expandindo e agrupando coeficientes obtemos
\Delta_{obs}(s)= s^3 + (6+\ell_1)s^2 + (11 + 6\ell_1 + \ell_2)s + (11\ell_1 +6\ell_2 +6 + \ell_3).
Igualando com (s+6)^3 = s^3 + 18 s^2 + 108 s + 216, obtemos o sistema:
\begin{cases} 6+\ell_1 = 18\\[4pt] 11 + 6\ell_1 + \ell_2 = 108\\[4pt] 11\ell_1 + 6\ell_2 +6 + \ell_3 = 216 \end{cases}
Resolvendo:
\ell_1 = 12,\quad \ell_2 = 25,\quad \ell_3 = -72.
Portanto
L = \begin{bmatrix}12\\[4pt]25\\[4pt]-72\end{bmatrix}.
(Empatia e incentivo rápido: ótimo — apesar de muitos números, chegamos aos ganhos K\] e \(L que definem o controlador por realimentação e o observador.)]

Passo 5

Expressão do controlador-observador como um sistema dinâmico e a fórmula da função de transferência procurada.
Vamos montar o compensador dinâmico resultante quando substituímos u=-K\hat{x} no observador. A dinâmica do estimador com ação de controle torna-se
\dot{\hat{x}} = (A - L C - B K)\,\hat{x} + L\,y,
e a lei de controle é
u = -K \hat{x}.
Assim, no domínio de Laplace (com zero condição inicial), obtemos
\hat{X}(s) = \bigl(sI - (A - L C - B K)\bigr)^{-1} L\, Y(s),
e
U(s) = -K\,\hat{X}(s) = -K\bigl(sI - (A - L C - B K)\bigr)^{-1} L\,Y(s).
Logo a função de transferência do controlador-observador (compensador), vista como U(s)/Y(s), é
\boxed{\displaystyle \frac{U(s)}{Y(s)} = -K\bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr)^{-1} L.}
Nosso objetivo é calcular essa função racional explicitamente para os K e L obtidos.

Passo 6

Calculando a matriz A - B K - L C explicitamente (numérica).
Primeiro calculemos A - B K. Como B K adiciona a linha K na terceira linha de A, temos
A - B K = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -6 & -11 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -10 & -12 & -7 \end{bmatrix}.
Agora subtraímos L C (que tem a primeira coluna igual a L e demais colunas nulas):
A - B K - L C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] -10 & -12 & -7 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 12 & 0 & 0\\[4pt] 25 & 0 & 0\\[4pt] -72 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 1 & 0\\[4pt] -25 & 0 & 1\\[4pt] 62 & -12 & -7 \end{bmatrix}.]

Passo 7

Montando o sistema linear para calcular (sI - (A - B K - L C))^{-1} L.
Denotemos v(s) = \bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr)^{-1} L. Então v(s) satisfaz
\bigl(sI - (A - B K - L C)\bigr) v(s) = L.
Escrevendo explicitamente sI - (A - B K - L C) com a matriz calculada no passo anterior:
sI - (A - B K - L C) = \begin{bmatrix} s+12 & -1 & 0\\[4pt] 25 & s & -1\\[4pt] -62 & 12 & s+7 \end{bmatrix}, \quad L=\begin{bmatrix}12\\[4pt]25\\[4pt]-72\end{bmatrix}.
Chamando v=\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{bmatrix}, obtemos o sistema linear (funcional em s):
\begin{cases} (s+12)v_1 - v_2 = 12,\\[4pt] 25 v_1 + s v_2 - v_3 = 25,\\[4pt] -62 v_1 + 12 v_2 + (s+7) v_3 = -72. \end{cases}]

Passo 8

Resolvendo o sistema para obter v_1(s),v_2(s),v_3(s).
Da primeira equação:
v_2 = (s+12)v_1 - 12.
Substituindo na segunda equação:
25 v_1 + s\bigl((s+12)v_1 - 12\bigr) - v_3 = 25
que se rearranja para
v_3 = (s^2 + 12 s +25)\,v_1 - (25 + 12 s).
Substituindo v_2 e v_3 na terceira equação e agrupando termos obtemos uma equação só para v_1. O cálculo algébrico dá (passo a passo mostrado nos cálculos intermédios):
v_1(s) = \frac{12 s^2 + 109 s + 247}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}.
Com v_1 encontramos
v_2(s) = (s+12)v_1 - 12 = \frac{25 s^2 + 103 s - 120}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257},
e
v_3(s) = (s^2 +12 s +25)v_1 - (25 + 12 s) = \frac{-72 s^2 -420 s -250}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}.
Tudo tem denominador comum
D(s)=s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257.

Passo 9

Calculando a função de transferência do compensador U(s)/Y(s).
Recordando que
\frac{U(s)}{Y(s)} = -K\,v(s) = -\begin{bmatrix}4 & 1 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{bmatrix} = -(4 v_1 + v_2 + v_3).
Substituindo as expressões obtidas e somando os numeradores (todos com o mesmo denominador D(s)), obtemos
4 v_1 + v_2 + v_3 = \frac{s^2 +119 s + 618}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}.
Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{U(s)}{Y(s)} = -\frac{s^2 + 119 s + 618}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}.}]

Resposta

\frac{U(s)}{Y(s)} = -\frac{s^2 + 119 s + 618}{s^3 + 19 s^2 + 121 s + 257}

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