Determine o valor de a para que o sistema dinâmico
\begin{gathered} \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\ a & -1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 2 \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \end{array}\right] u(t) \\\ y(t)=\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \end{array}\right] x(t) \end{gathered}
seja:
Não observável;

Passo 1

O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de a para que o sistema dado seja não observável.
As informações fornecidas pelo enunciado são as matrizes do sistema linear contínuo:
A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\[2pt] a & -1 & 0\\[2pt] 2 & -2 & 2 \end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}-1\\[2pt]2\\[2pt]-3\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\end{pmatrix}.
A única pergunta é: para quais valores de a o sistema é não observável?]

Passo 2

Lembrete didático (o que é observabilidade): um sistema linear de dimensão n é observável se, a partir da saída y(t) ao longo de tempo, for possível determinar (única e completamente) o estado inicial x(0). Matematicamente, uma condição prática equivalente é que a matriz de observabilidade tenha posto n. A matriz de observabilidade é construída como
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} C\\[2pt] C A\\[2pt] C A^2\\[2pt] \vdots \end{pmatrix},
e para um sistema de ordem n=3 basta verificar se a matriz 3\times3
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} C\\[2pt] C A\\[2pt] C A^2 \end{pmatrix}
tem posto 3. Se \operatorname{rank}(\mathcal{O})<3 então o sistema é não observável.]

Passo 3

Vamos calcular primeiro C A. Uso a multiplicação linha por coluna: para cada coluna j de A,
(CA)_j=\sum_{i=1}^{3} C_i A_{ij}.
Com C=(1,\,-2,\,3) e A dado, obtemos:
\begin{aligned} (CA)_1 &= 1\cdot(-1)+(-2)\cdot a + 3\cdot 2 = -1-2a+6 = 5-2a,\\[4pt] (CA)_2 &= 1\cdot 0 + (-2)\cdot(-1) + 3\cdot(-2) = 0+2-6 = -4,\\[4pt] (CA)_3 &= 1\cdot 0 + (-2)\cdot 0 + 3\cdot 2 = 6. \end{aligned}
Portanto
C A = \begin{pmatrix}5-2a & -4 & 6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculo C A^2=(C A)A. Multiplico o vetor C A pela matriz A:
\begin{aligned} (CA^2)_1 &= (5-2a)(-1) + (-4)\,a + 6\cdot 2 = -5+2a -4a +12 = 7-2a,\\[4pt] (CA^2)_2 &= (5-2a)\cdot 0 + (-4)(-1) + 6(-2) = 0+4-12 = -8,\\[4pt] (CA^2)_3 &= (5-2a)\cdot 0 + (-4)\cdot 0 + 6\cdot 2 = 12. \end{aligned}
Logo
C A^2 = \begin{pmatrix}7-2a & -8 & 12\end{pmatrix}.]

Passo 5

Montamos a matriz de observabilidade \mathcal{O} com as linhas C,\;CA,\;CA^2:
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3\\[4pt] 5-2a & -4 & 6\\[4pt] 7-2a & -8 & 12 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Para verificar se \mathcal{O} tem posto 3, calculo seu determinante. Faço operações linha para simplificar: subtraio (5-2a) vezes a primeira linha da segunda linha, e (7-2a) vezes a primeira linha da terceira linha. Ou seja, defino
L_2\leftarrow L_2-(5-2a)L_1,\qquad L_3\leftarrow L_3-(7-2a)L_1.
Então:
\begin{aligned} L_2' &= \bigl(0,\; -4 - (5-2a)(-2),\; 6-(5-2a)\cdot 3\bigr)\\[4pt] &= \bigl(0,\; -4 +2(5-2a),\; 6-15+6a\bigr)\\[4pt] &= \bigl(0,\; 6-4a,\; -9+6a\bigr), \end{aligned}
e igualmente
L_3'=\bigl(0,\; -8 - (7-2a)(-2),\; 12-(7-2a)\cdot 3\bigr)=\bigl(0,\; 6-4a,\; -9+6a\bigr).
Ou seja, após essas operações obtemos duas linhas idênticas:
L_2'=L_3'=\begin{pmatrix}0 & 6-4a & -9+6a\end{pmatrix}.]

Passo 7

Como as linhas 2 e 3 de \mathcal{O} são idênticas (após as operações elementares, que não mudam o determinante até fator 1), isso implica que as linhas são linearmente dependentes, logo
\det(\mathcal{O})=0
para todo valor de a. Portanto \operatorname{rank}(\mathcal{O})\le 2 para qualquer a, ou seja, nunca alcança 3. Conclusão preliminar: o sistema não é observável para todo a\in\mathbb{R}.

Passo 8

Observação extra (útil na prova): quando a linha comum L_2'=L_3' for o vetor nulo, o posto cai ainda mais. Resolve-se
6-4a=0 \quad\text{e}\quad -9+6a=0.
A primeira dá a=\tfrac{3}{2}; substituindo na segunda também obtemos 0. Então para a=\tfrac{3}{2} temos L_2'=L_3'=0 e o posto de \mathcal{O} é exatamente 1. Para a\neq \tfrac{3}{2} temos L_2'=L_3'\neq 0 e o posto é 2. Em qualquer caso o posto é menor que 3, confirmando que o sistema é não observável para todos os a.

Resposta

Todos os valores reais de a (ou seja, a\in\mathbb{R}).

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