O enunciado pede: determinar o(s) valor(es) de a para que o sistema dado seja não observável.
As informações fornecidas pelo enunciado são as matrizes do sistema linear contínuo:
A única pergunta é: para quais valores de a o sistema é não observável?]
Passo 2
Lembrete didático (o que é observabilidade): um sistema linear de dimensão n é observável se, a partir da saída y(t) ao longo de tempo, for possível determinar (única e completamente) o estado inicial x(0). Matematicamente, uma condição prática equivalente é que a matriz de observabilidade tenha posto n. A matriz de observabilidade é construída como
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} C\\[2pt] C A\\[2pt] C A^2\\[2pt] \vdots \end{pmatrix},
e para um sistema de ordem n=3 basta verificar se a matriz 3\times3
\mathcal{O}=\begin{pmatrix} C\\[2pt] C A\\[2pt] C A^2 \end{pmatrix}
tem posto 3. Se \operatorname{rank}(\mathcal{O})<3 então o sistema é não observável.]
Passo 3
Vamos calcular primeiro C A. Uso a multiplicação linha por coluna: para cada coluna j de A,
Para verificar se \mathcal{O} tem posto 3, calculo seu determinante. Faço operações linha para simplificar: subtraio (5-2a) vezes a primeira linha da segunda linha, e (7-2a) vezes a primeira linha da terceira linha. Ou seja, defino
Como as linhas 2 e 3 de \mathcal{O} são idênticas (após as operações elementares, que não mudam o determinante até fator 1), isso implica que as linhas são linearmente dependentes, logo
\det(\mathcal{O})=0
para todo valor de a. Portanto \operatorname{rank}(\mathcal{O})\le 2 para qualquer a, ou seja, nunca alcança 3. Conclusão preliminar: o sistema não é observável para todo a\in\mathbb{R}.
Passo 8
Observação extra (útil na prova): quando a linha comum L_2'=L_3' for o vetor nulo, o posto cai ainda mais. Resolve-se
6-4a=0 \quad\text{e}\quad -9+6a=0.
A primeira dá a=\tfrac{3}{2}; substituindo na segunda também obtemos 0. Então para a=\tfrac{3}{2} temos L_2'=L_3'=0 e o posto de \mathcal{O} é exatamente 1. Para a\neq \tfrac{3}{2} temos L_2'=L_3'\neq 0 e o posto é 2. Em qualquer caso o posto é menor que 3, confirmando que o sistema é não observável para todos os a.
Resposta
Todos os valores reais de a (ou seja, a\in\mathbb{R}).