Determine o valor de a para que o sistema dinâmico
\begin{gathered} \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{rrr} -1 & 0 & 0 \\\ a & -1 & 0 \\\\ 2 & -2 & 2 \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{r} -1 \\\\ 2 \\\\ -3 \end{array}\right] u(t) \\\ y(t)=\left[\begin{array}{lll} 1 & -2 & 3 \end{array}\right] x(t) \end{gathered}
seja:
Não controlável;

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear de estado
\dot{x}(t)=\underbrace{\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\[4pt] a & -1 & 0 \\[4pt] 2 & -2 & 2\end{pmatrix}}_{A} x(t) +\underbrace{\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -3\end{pmatrix}}_{B} u(t)
e a saída
y(t)=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3\end{pmatrix} x(t).
A pergunta é: determinar os valores de \,a para os quais o sistema é não controlável.
Listei as informações importantes que o enunciado dá:
A=\begin{pmatrix}-1 & 0 & 0 \\[4pt] a & -1 & 0 \\[4pt] 2 & -2 & 2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2 \\[4pt] -3\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos usar o teste prático de controlabilidade (explico o porquê e o que significa). Para um sistema linear \dot{x}=Ax+Bu de dimensão n uma forma direta de verificar controlabilidade é construir a matriz de controlabilidade de Kalman
\mathcal{C}=\big[\,B\;|\;A B\;|\;A^{2}B\;|\;\dots\;|\;A^{n-1}B\,\big].
Para n=3 precisamos de \mathcal{C}=[B\;|\;AB\;| \;A^{2}B]. O sistema é controlável se, e somente se, \mathcal{C} tem posto 3 (ou seja, determinante não nulo). Logo, para ser não controlável basta que \det(\mathcal{C})=0. Agora calculamos \mathcal{C} e o seu determinante em função de \,a.

Passo 3

Calculo de AB. Multiplicamos A por B linha a linha:
primeira linha:
(-1)\cdot(-1)+0\cdot2+0\cdot(-3)=1.
segunda linha:
a\cdot(-1)+(-1)\cdot2+0\cdot(-3)=-a-2.
terceira linha:
2\cdot(-1)+(-2)\cdot2+2\cdot(-3)=-2-4-6=-12.
Portanto
AB=\begin{pmatrix}1 \\[4pt] -a-2 \\[4pt] -12\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo de A^{2}B = A(AB). Multiplicamos A pelo vetor AB:
primeira linha:
(-1)\cdot 1 + 0\cdot(-a-2)+0\cdot(-12) = -1.
segunda linha:
a\cdot 1 + (-1)\cdot(-a-2)+0\cdot(-12) = a + (a+2) = 2a+2.
terceira linha:
2\cdot 1 + (-2)\cdot(-a-2) + 2\cdot(-12) = 2 + 2(a+2) -24 = 2a-18.
Logo
A^{2}B=\begin{pmatrix}-1 \\[4pt] 2a+2 \\[4pt] 2a-18\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora escrevemos a matriz de controlabilidade \mathcal{C} juntando as colunas B, AB e A^{2}B:
\mathcal{C}=\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\[4pt] 2 & -a-2 & 2a+2 \\[4pt] -3 & -12 & 2a-18 \end{pmatrix}.
Para verificar não controlabilidade calculamos \det(\mathcal{C}) e impomos \det(\mathcal{C})=0.]

Passo 6

Calculamos o determinante de \mathcal{C} usando a fórmula para 3\times3:
\det(\mathcal{C})= m_{11}(m_{22}m_{33}-m_{23}m_{32}) -m_{12}(m_{21}m_{33}-m_{23}m_{31}) +m_{13}(m_{21}m_{32}-m_{22}m_{31}),
onde m_{ij} são os elementos de \mathcal{C}. Substituindo m_{11}=-1, m_{12}=1, m_{13}=-1, m_{21}=2, m_{22}=-a-2, m_{23}=2a+2, m_{31}=-3, m_{32}=-12, m_{33}=2a-18, obtemos passo a passo:
Calcule o primeiro termo:
(-a-2)(2a-18)-(2a+2)(-12)=-2a^{2}+14a+36+24a+24=-2a^{2}+38a+60,
multiplicando por m_{11}=-1
2a^{2}-38a-60.
Calcule o segundo termo:
2(2a-18)-(2a+2)(-3)=4a-36+6a+6=10a-30,
multiplicando por -m_{12}=-1
-10a+30.
Calcule o terceiro termo:
2(-12)-(-a-2)(-3)=-24-(3a+6)=-3a-30,
multiplicando por m_{13}=-1
3a+30.
Somando os três termos:
\det(\mathcal{C})=(2a^{2}-38a-60)+(-10a+30)+(3a+30)=2a^{2}-45a.
Simplificando:
\det(\mathcal{C})=2a^{2}-45a=a(2a-45).

Passo 7

Para o sistema ser não controlável precisamos de \det(\mathcal{C})=0. Então
a(2a-45)=0.
As soluções são
a=0 \qquad\text{ou}\qquad 2a-45=0\Rightarrow a=\frac{45}{2}.
Portanto, para esses valores de \,a a matriz de controlabilidade é singular e o sistema não é controlável.

Resposta

a=0
a=\dfrac{45}{2}

Exercícios relacionados