Faça o projeto do sistema regulador para a planta
\begin{gathered} \dot{x}(t)=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -2 & -2 \end{array}\right] x(t)+\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] u(t) \\\ y(t)=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right] x(t) \end{gathered}
de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado:
J=\int_{0}^{\infty} x^{T} x+u^{2} d t

Passo 1

O enunciado dá a planta linear no espaço de estados e pede projetar um regulador que minimize o índice de desempenho. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dados:
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}
e o índice de desempenho
J=\int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}x+u^{2}\bigr)\,dt.
O que é pedido:
  • Projetar o regulador ótimo no sentido de LQR (realizar o controle por realimentação de estado) que minimiza J. Ou seja, encontrar a lei de controle do tipo \;u(t)=-Kx(t)\; que minimiza o custo.
Informações úteis que já se seguem do enunciado:
Q=I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\qquad R=1.]

Passo 2

Breve aula prática sobre o método que vamos usar (LQR e equação de Riccati), do jeito mais direto e sem blablabla técnico inútil.
  • Para o problema contínuo de LQR com dinâmica \dot x=Ax+Bu e custo
    J=\int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Qx+u^{T}Ru\bigr)\,dt,
    a lei ótima é do tipo
    u=-Kx,
    onde
    K=R^{-1}B^{T}P.
    Aqui P é a matriz simétrica definida positiva que resolve a equação algébrica de Riccati (CARE):
    A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0.
  • Interpretação simples: P é a “matriz de custo-to-go” (valor ótimo do custo quadrático a partir de um estado), e a fórmula K=R^{-1}B^{T}P dá o ganho que minimiza o custo.
No nosso caso Q=I_{2} e R=1, logo a CARE fica
A^{T}P+PA-PBB^{T}P+I_{2}=0,
e a lei ótima será \;u=-Kx com \;K=B^{T}P.

Passo 3

Preparar a incógnita e escrever a CARE em componentes (vamos resolver explicitamente).
Assumimos P simétrica:
P=\begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix},
onde p_{1},p_{2},p_{3} são escalares reais a determinar. Vou calcular termo a termo A^{T}P, PA e PBB^{T}P.
Calculemos A^{T}:
A^{T}=\begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calcular A^{T}P e PA de forma explícita (mostrando os passos das multiplicações):
  • Produto A^{T}P:
A^{T}P= \begin{pmatrix}0 & -2\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2p_{2} & -2p_{3}\\[4pt] p_{1}-2p_{2} & p_{2}-2p_{3} \end{pmatrix}.
  • Produto PA:
PA= \begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2p_{2} & p_{1}-2p_{2}\\[4pt] -2p_{3} & p_{2}-2p_{3} \end{pmatrix}.
Somando:
A^{T}P+PA= \begin{pmatrix} -4p_{2} & p_{1}-2p_{2}-2p_{3}\\[4pt] p_{1}-2p_{2}-2p_{3} & 2p_{2}-4p_{3} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Calcular PBB^{T}P. Note que B=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, então BB^{T}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
  • Primeiro P(BB^{T}):
PBB^{T}= \begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & p_{2}\\[4pt]0 & p_{3}\end{pmatrix}.
  • Agora PBB^{T}P:
PBB^{T}P= \begin{pmatrix}0 & p_{2}\\[4pt]0 & p_{3}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p_{2}^{2} & p_{2}p_{3}\\[4pt] p_{2}p_{3} & p_{3}^{2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora substituímos tudo na CARE
A^{T}P+PA-PBB^{T}P+I_{2}=0,
e obtemos equações escalares para as entradas:
Para a posição (1,1):
-4p_{2}-p_{2}^{2}+1=0.
Reescrevendo:
p_{2}^{2}+4p_{2}-1=0.
Para a posição (1,2) (ou (2,1), mesma equação por simetria):
p_{1}-2p_{2}-2p_{3}-p_{2}p_{3}=0.
Para a posição (2,2):
2p_{2}-4p_{3}-p_{3}^{2}+1=0.
Reescrevendo:
-p_{3}^{2}-4p_{3}+2p_{2}+1=0\quad\text{(ou)}\quad p_{3}^{2}+4p_{3}-2p_{2}-1=0.
Temos, portanto, o sistema não linear de três equações para p_{1},p_{2},p_{3}.

Passo 7

Resolver a equação para p_{2} (é um quadrático simples):
p_{2}^{2}+4p_{2}-1=0
Tem soluções
p_{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16+4}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{20}}{2}=-2\pm\sqrt{5}.
Escolhemos a raiz que conduz a P definida positiva. Numéricas:
p_{2}^{(1)}=-2+\sqrt{5}\approx 0{,}23607,\qquad p_{2}^{(2)}=-2-\sqrt{5}\approx -4{,}23607.
A segunda opção tipicamente leva a P indefinida (ou não-positiva) — queremos P>0. Portanto escolhemos
p_{2}=\,-2+\sqrt{5}\approx 0{,}23607.

Passo 8

Com esse p_{2}, resolvemos a equação para p_{3}:
p_{3}^{2}+4p_{3}-2p_{2}-1=0.
Substituindo p_{2}=-2+\sqrt{5} obtém-se
p_{3}=-2\pm\sqrt{5+2p_{2}}.
Calculemos numericamente 5+2p_{2}=5+2(-2+\sqrt{5})=1+2\sqrt{5}\approx 5{,}47214, então
p_{3}=-2\pm\sqrt{1+2\sqrt{5}}\approx -2\pm 2{,}33920.
As duas possibilidades são p_{3}\approx 0{,}33920 ou p_{3}\approx -4{,}33920. Novamente, para P definida positiva escolhemos o valor positivo:
p_{3}\approx 0{,}33920.

Passo 9

Finalmente obtemos p_{1} a partir da equação mista
p_{1}-2p_{2}-2p_{3}-p_{2}p_{3}=0,
logo
p_{1}=2p_{2}+2p_{3}+p_{2}p_{3}.
Substituindo os valores numéricos:
p_{1}\approx 2(0{,}23607)+2(0{,}33920)+(0{,}23607)(0{,}33920) \approx 1{,}2306.
Assim uma solução positiva definida para P é (aproximando):
P\approx\begin{pmatrix}1{,}2306 & 0{,}23607\\[4pt]0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}.]

Passo 10

Calcular o ganho K. Lembrando que R=1 e K=R^{-1}B^{T}P=B^{T}P. Como B^{T}=[0\;\;1],
K=B^{T}P=[0\;1]\begin{pmatrix}p_{1} & p_{2}\\[4pt]p_{2} & p_{3}\end{pmatrix}=[p_{2}\;\;p_{3}].
Com os valores numéricos:
K\approx\begin{pmatrix}0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}.
Portanto a lei de controle ótima é
u(t)=-Kx(t)\approx -\begin{pmatrix}0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}x(t).]

Passo 11

Verificação rápida (estabilidade do laço fechado):
A dinâmica em malha fechada é \dot x=(A-BK)x. Calculando A-BK:
A-BK= \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-2 & -2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[4pt] -2-0{,}23607 & -2-0{,}33920 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é
s^{2}+(2+0{,}33920)s+(2+0{,}23607)=0,
as raízes têm parte real negativa (são complexas com parte real negativa), logo o sistema em malha fechada é assintoticamente estável — como esperado do projeto LQR.]

Resposta

P\approx\begin{pmatrix}1{,}2306 & 0{,}23607\\[4pt]0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}
K\approx\begin{pmatrix}0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}, portanto \;u(t)=-Kx(t)\approx -\begin{pmatrix}0{,}23607 & 0{,}33920\end{pmatrix}x(t).]

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