de modo que o seguinte índice de desempenho seja minimizado:
J=\int_{0}^{\infty} x^{T} x+u^{2} d t
Passo 1
O enunciado dá a planta linear no espaço de estados e pede projetar um regulador que minimize o índice de desempenho. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Projetar o regulador ótimo no sentido de LQR (realizar o controle por realimentação de estado) que minimiza J. Ou seja, encontrar a lei de controle do tipo \;u(t)=-Kx(t)\; que minimiza o custo.
Aqui P é a matriz simétrica definida positiva que resolve a equação algébrica de Riccati (CARE):
A^{T}P+PA-PBR^{-1}B^{T}P+Q=0.
Interpretação simples: P é a “matriz de custo-to-go” (valor ótimo do custo quadrático a partir de um estado), e a fórmula K=R^{-1}B^{T}P dá o ganho que minimiza o custo.
No nosso caso Q=I_{2} e R=1, logo a CARE fica
A^{T}P+PA-PBB^{T}P+I_{2}=0,
e a lei ótima será \;u=-Kx com \;K=B^{T}P.
Passo 3
Preparar a incógnita e escrever a CARE em componentes (vamos resolver explicitamente).
as raízes têm parte real negativa (são complexas com parte real negativa), logo o sistema em malha fechada é assintoticamente estável — como esperado do projeto LQR.]