Considere o sistema cilindro-pistão-gás, cuja solução para velocidade do pistão constante foi obtida em sala. Considere agora que a força aplicada sobre o pistão seja uma constante. Modelar matematicamente o problema.
Repetir o exercício acima, porém com Força variável no tempo, de acordo com
[
F(t)=F_{A} \cos (\omega t)
]

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos um cilindro com gás dentro e um pistão que se move. Já vimos em sala a solução quando o pistão vai com velocidade constante. Agora queremos modelar o caso em que aplicamos uma FORÇA constante no pistão e daí depois uma força que varia no tempo .”
Matéria: mecânica + termodinâmica de gases (Lei dos gases ideais e, a gente assume, processo adiabático const).
O que vamos precisar:
  • Segunda lei de Newton para o pistão ( ).
  • Relação gás ideal + adiabático para saber como varia com .
  • Definir volume , área do pistão , massa do pistão , índice adiabático .

Passo 2

Modelando FORÇA constante m,ddot x(t) = F - Fgás(t) :
  1. Aplique Newton no pistão: p(t);V(t)^gamma = p0,V0^gamma, á
  2. A força do gás no pistão é p(t)=p0l(V0A,x(t)r)^!gamma .
  3. Num processo adiabático, o gás satisfaz m,ddot x(t) = F - A,p0l(V0A,x(t)r)^!gamma onde e são condições iniciais.
  4. Logo
  5. Substituindo em Newton:

Passo 3

Modelando FORÇA VARIÁVEL m,ddot x(t) = FAcos(omega t);-;A,p0l(tfracV0A,x(t)r)^!gamma :
Mesma lógica do Passo 2, só que trocamos o constante por .

Resposta

Equações de movimento do pistão:
  1. Para força constante boxedm,ddot x(t) ;=; F ;-; A,p0l(tfracV0A,x(t)r)^!gamma : boxedm,ddot x(t) ;=; FAcos(omega t);-; A,p0l(tfracV0A,x(t)r)^!gamma,
  2. Para força :

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