Considere um sistema composto por N partículas ultra-relativísiticas com energia expressa pela hamiltoniana:
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N} c\left|\vec{p}_{i}\right|
A função de partição contendo o fator de correção de Gibbs que ajusta a contagem dos estados é expressa por:
\mathcal{Z}=\frac{1}{N!h^{3 N}} \int d^{3} \vec{p} \cdot d^{3} \vec{q} \cdot e^{-\beta \mathcal{H}}
a) Desenvolva a expressão para a função de partição, mostrando que ela pode ser reescrita como:
\mathcal{Z}=\frac{(4 \pi V)^{N}}{N!h^{3 N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\right]^{N}
b) Resolva a integral para a função de partição do item anterior.
c) Escreva a densidade de energia por partícula
d) Determine o calor específico.
Valor: 3,0

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as quantidades abaixo.
Dados fornecidos:
\mathcal{H}=\sum_{i=1}^{N} c\left|\vec{p}_{i}\right|
\mathcal{Z}=\frac{1}{N!h^{3N}}\int d^{3}\vec{p}\,d^{3}\vec{q}\; e^{-\beta\mathcal{H}}
Aqui \beta é o parâmetro térmico (ou seja \beta=1/(k_{B}T)), h é a constante de Planck (constante de normalização do volume de fase) e V será o volume do sistema; o fator 1/N! é o fator de correção de Gibbs (indistinguibilidade das partículas).
O que o enunciado pede:
a) Mostrar que a função de partição pode ser reescrita como
\mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp\right]^{N}.
b) Calcular explicitamente a integral que aparece acima e obter \mathcal{Z} numa forma fechada.
c) Escrever a densidade de energia por partícula (energia média por partícula).
d) Determinar o calor específico (em V constante), tanto total quanto por partícula.

Passo 2

Integração sobre as coordenadas \vec{q} (espaço real).
As integrais sobre as posições das N partículas factoriza e cada integral \int d^{3}\vec{q}_{i} dá o volume V. Portanto:
\int d^{3}\vec{q}=\prod_{i=1}^{N}\int d^{3}\vec{q}_{i}=V^{N}.
Substituindo isso em \mathcal{Z} obtemos
\mathcal{Z}=\frac{V^{N}}{N!h^{3N}}\int d^{3}\vec{p}\; e^{-\beta\sum_{i=1}^{N} c|\vec{p}_{i}|}.
Como o hamiltoniano é soma sobre partículas, a integral de momento factoriza em produto de integrals de cada partícula:
\int d^{3}\vec{p}\; e^{-\beta\sum_{i} c|\vec{p}_{i}|}=\prod_{i=1}^{N}\left(\int d^{3}\vec{p}_{i}\; e^{-\beta c|\vec{p}_{i}|}\right).

Passo 3

Mudança para coordenadas esféricas no espaço de momentos (para cada partícula).
Num espaço de três dimensões a medida d^{3}\vec{p} em coordenadas esféricas é d^{3}\vec{p}=p^{2}\sin\theta\,dp\,d\theta\,d\varphi. A integração sobre os ângulos \theta,\varphi dá a área da esfera unitária 4\pi. Assim, para cada partícula:
\int d^{3}\vec{p}_{i}\; e^{-\beta c|\vec{p}_{i}|} = 4\pi \int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp.
Usando isso para todas as N partículas, e juntando com o fator V^{N}, obtemos exatamente a forma pedida:
\mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp\right]^{N}.

Passo 4

Cálculo da integral radial
I(\beta)=\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp.
Fazemos a substituição de variável x=\beta c p. Então p=x/(\beta c) e dp=dx/(\beta c). Assim:
I(\beta)=\int_{0}^{\infty} \left(\frac{x}{\beta c}\right)^{2} e^{-x}\frac{dx}{\beta c} =\frac{1}{(\beta c)^{3}}\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx.
A integral \int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx é a função gama \Gamma(3). Sabemos que \Gamma(n+1)=n! para inteiro n, logo
\int_{0}^{\infty} x^{2} e^{-x}\,dx=\Gamma(3)=2!=2.
Portanto
I(\beta)=\frac{2}{(\beta c)^{3}}.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral na expressão da função de partição:
\mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\frac{2}{(\beta c)^{3}}\right]^{N}.
Agrupando fatores:
\mathcal{Z}=\frac{1}{N!}\left(\frac{8\pi V}{h^{3}\beta^{3}c^{3}}\right)^{N}.
Esta é a função de partição canônica do gás clássico ultrarrelativístico de N partículas.

Passo 6

Cálculo da energia média U e da energia por partícula.
No conjunto canônico a energia média é
U=-\frac{\partial \ln\mathcal{Z}}{\partial \beta}.
Primeiro calculemos \ln\mathcal{Z}. Da expressão anterior:
\ln\mathcal{Z}=-\ln N!+N\ln\left(\frac{8\pi V}{h^{3}c^{3}}\right)-3N\ln\beta.
Derivando em relação a \beta:
\frac{\partial \ln\mathcal{Z}}{\partial \beta}=-3N\frac{1}{\beta}.
Portanto
U=-\frac{\partial \ln\mathcal{Z}}{\partial \beta}=3N\frac{1}{\beta}.
Usando \beta=1/(k_{B}T) obtemos
U=3N k_{B}T.
A energia média por partícula (densidade de energia por partícula pedida no item c) é
\bar{\varepsilon}=\frac{U}{N}=3k_{B}T.

Passo 7

Cálculo do calor específico (a volume constante).
O calor específico total a volume constante é
C_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=3N k_{B}.
O calor específico por partícula é
c_{V}=\frac{C_{V}}{N}=3k_{B}.
Comentário rápido e motivador: repare que para este gás ultrarrelativístico cada partícula tem energia média proporcional a T com coeficiente 3k_{B}, diferente do caso não relativístico clássico (3/2)k_{B}T. Isso vem da dependência linear da energia com p no hamiltoniano.

Resposta

(a) \displaystyle \mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp\right]^{N}
(b) \displaystyle \mathcal{Z}=\frac{1}{N!}\left(\frac{8\pi V}{h^{3}\beta^{3}c^{3}}\right)^{N} (pois \displaystyle \int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp=\frac{2}{(\beta c)^{3}})
(c) \displaystyle \bar{\varepsilon}=\frac{U}{N}=3k_{B}T
(d) \displaystyle C_{V}=3N k_{B}\quad\text{e}\quad c_{V}=\frac{C_{V}}{N}=3k_{B}

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