Aqui \beta é o parâmetro térmico (ou seja \beta=1/(k_{B}T)), h é a constante de Planck (constante de normalização do volume de fase) e V será o volume do sistema; o fator 1/N! é o fator de correção de Gibbs (indistinguibilidade das partículas).
O que o enunciado pede:
a) Mostrar que a função de partição pode ser reescrita como
\mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp\right]^{N}.
b) Calcular explicitamente a integral que aparece acima e obter \mathcal{Z} numa forma fechada.
c) Escrever a densidade de energia por partícula (energia média por partícula).
d) Determinar o calor específico (em V constante), tanto total quanto por partícula.
Passo 2
Integração sobre as coordenadas \vec{q} (espaço real).
As integrais sobre as posições das N partículas factoriza e cada integral \int d^{3}\vec{q}_{i} dá o volume V. Portanto:
Mudança para coordenadas esféricas no espaço de momentos (para cada partícula).
Num espaço de três dimensões a medida d^{3}\vec{p} em coordenadas esféricas é d^{3}\vec{p}=p^{2}\sin\theta\,dp\,d\theta\,d\varphi. A integração sobre os ângulos \theta,\varphi dá a área da esfera unitária 4\pi. Assim, para cada partícula:
Comentário rápido e motivador: repare que para este gás ultrarrelativístico cada partícula tem energia média proporcional a T com coeficiente 3k_{B}, diferente do caso não relativístico clássico (3/2)k_{B}T. Isso vem da dependência linear da energia com p no hamiltoniano.
Resposta
(a) \displaystyle \mathcal{Z}=\frac{(4\pi V)^{N}}{N!h^{3N}}\left[\int_{0}^{\infty} p^{2} e^{-\beta c p}\,dp\right]^{N}