Dois fios feitos do mesmo material têm os mesmos comprimentos, mas diâmetros diferentes. Eles são conectados em paralelo a uma bateria. A quantidade que NÃO é a mesma para os fios é:
Escolha uma opção:
a. o campo elétrico
b. a corrente
c. a velocidade de deriva do elétron
d. a diferença de potencial ponta a ponta
e. a densidade de corrente
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Dois fios são feitos do mesmo material (portanto têm a mesma resistividade e mesma densidade de portadores de carga).
- Os fios têm o mesmo comprimento
. - Os fios têm diâmetros diferentes, portanto têm áreas de seção transversal diferentes; chamarei as áreas de
e com . - Os fios estão conectados em paralelo a uma bateria (ou seja, às mesmas duas pontas/polos).
- A pergunta: qual das quantidades listadas NÃO é a mesma para os dois fios? As opções são:
a. o campo elétrico
b. a corrente
c. a velocidade de deriva do elétron
d. a diferença de potencial ponta a ponta
e. a densidade de corrente
Passo 2
Vamos entender como a resistência de cada fio depende da área de seção transversal. A fórmula para a resistência de um fio homogêneo é
onde
é a resistividade do material,
é o comprimento do fio e
é a área da seção transversal. Aqui:
-
é a mesma para os dois fios porque são do mesmo material; -
é o mesmo para os dois fios por hipótese; -
difere ( ) porque os diâmetros são diferentes.
Portanto as resistências serão diferentes:
e
. Conclusão: a resistência elétrica NÃO é a mesma entre os fios (mas essa não é uma das opções; só usamos para raciocinar).
Passo 3
Agora pense na conexão em paralelo a uma bateria. Quando dois elementos estão em paralelo, as suas duas extremidades estão ligadas aos mesmos dois nós; assim a diferença de potencial entre as pontas de cada fio é a mesma (é igual à tensão da bateria, se desprezarmos resistências internas). Logo a diferença de potencial ponta a ponta é igual para os dois fios. Em símbolos:
Isso mostra que a opção d (diferença de potencial ponta a ponta) é a mesma para os dois fios.
Passo 4
Qual é o campo elétrico dentro de um fio longo e homogêneo quando existe uma diferença de potencial
entre suas extremidades de comprimento
? Se o campo for aproximadamente uniforme ao longo do fio, vale
Como
é igual para os dois fios (do passo anterior) e
também é igual, segue que o campo elétrico
é o mesmo em ambos os fios. Portanto a opção a (campo elétrico) é a mesma para os dois fios.
Passo 5
Agora a densidade de corrente
. A lei local que liga corrente e campo elétrico é a forma microscópica da Lei de Ohm:
onde
é a condutividade do material (
) e
é o campo elétrico. Para nossos fios:
-
é igual para ambos (mesmo material), -
é igual para ambos (passo 4).
Logo
tem o mesmo valor em ambos os fios:
Portanto a densidade de corrente (opção e) é a mesma para os dois fios.
Passo 6
A corrente elétrica total
que passa por um fio é a densidade de corrente multiplicada pela área da seção transversal:
Como acabamos de ver,
é igual em ambos os fios, mas as áreas
e
são diferentes. Assim
e portanto
sempre que
. Isso mostra que a corrente (opção b) NÃO é a mesma para os fios — o fio mais grosso (maior
) conduz mais corrente.
Também dá para ver pela forma
: como
é o mesmo e
é diferente (passo 2), as correntes serão diferentes.
Passo 7
Velocidade de deriva dos elétrons
. A relação entre densidade de corrente escalar (magnitude)
e velocidade de deriva é
onde
é a densidade de portadores (número de elétrons por volume) e
é a carga elementar (módulo da carga do elétron). Para fios do mesmo material
é o mesmo,
é constante e já vimos que
é o mesmo. Logo
Portanto a velocidade de deriva (opção c) é a mesma nos dois fios.
Passo 8
Resumo das conclusões:
- a) campo elétrico: igual para os dois fios.
- b) corrente: diferente entre os fios.
- c) velocidade de deriva: igual para os dois fios.
- d) diferença de potencial ponta a ponta: igual para os dois fios.
- e) densidade de corrente: igual para os dois fios.
A única opção que NÃO é a mesma é a corrente.
Resposta
b. a corrente