Considere um sistema A^* que consiste em dois subsistemas A e A^prime, os quais podem interagir levemente e, portanto, trocar energia entre si.
  • O sistema A é composto por três spins, cada um com um momento magnético mu0.
  • O sistema A^prime é composto por dois spins, cada um com um momento magnético 2 mu0.
O sistema A^* está sob a influência de um campo magnético externo B. Denotamos por:
  • M : o momento magnético total de A na direção de B.
  • M^prime : o momento magnético total de A^prime na direção de B.
A interação entre os spins é considerada quase desprezível, e a energia total E^* do sistema é dada por:
E^*=-(M+M^prime) B
O sistema A^* possui um total de 5 spins, resultando em 2^5=32 estados quânticos possíveis. Cada um desses estados pode ser especificado por cinco números quânticos:
  • Três números ( sigma1, sigma2, sigma3 ) indicando as orientações dos três momentos magnéticos de A.
  • Dois números (sigma1^prime, sigma2^prime) indicando as orientações dos dois momentos magnéticos de A^prime.
Suponha que o sistema isolado A^* tenha uma energia total E^* igual a -3 mu0 B, limitando os estados acessíveis deste sistema.
(a) Calcule a probabilidade de que o momento magnético do sistema A assuma cada um dos valores possíveis de M.
(b) Qual o valor médio barM do momento magnético do sistema A ?
(c) Calcule a probabilidade de que o momento magnético do sistema A^prime assuma cada um dos valores possíveis de M.
(d) Qual o valor médio barM do momento magnético do sistema A^prime ?
(e) Suponha que os sistemas sejam separados novamente, de forma que eles não interajam mais entre si. O que aconteceria com as respostas calculadas anteriormente?

Passo 1

O enunciado trata de um sistema isolado A^* composto por dois subsistemas A (três spins de momento mu0) e A' (dois spins de momento 2mu0), sujeito a um campo B. A energia total é
E^* = -l(M + M'r),B
e estamos restritos aos microestados com
E^* = -3,mu0B Longrightarrow M + M' = 3,mu0
Queremos (a) a probabilidade de cada valor de M, (b) bar M, (c) a probabilidade de cada valor de M', (d) bar M' e (e) o que muda se separarmos os subsistemas de modo que não interajam mais.

Passo 2

Contagem de microestados de A e A':
— Para A (3 spins de pmmu0), os valores possíveis de M são
M = -3mu0,,-1mu0,,+1mu0,,+3mu0,
com degeneridades
gA(-3mu0)=1,; gA(-1mu0)=3,; gA(+1mu0)=3,; gA(+3mu0)=1
— Para A' (2 spins de pm2mu0), os valores possíveis de M' são
M' = -4mu0,,0,,+4mu0,
com
gA'(-4mu0)=1,; gA'(0)=2,; gA'(+4mu0)=1

Passo 3

Impondo M+M'=3mu0, só há dois pares possíveis:
M = -1mu0, & M' = 4mu0, M = +3mu0, & M' = 0
O número total de microestados acessíveis é
W^* = gA(-1mu0),gA'(+4mu0) + gA(+3mu0),gA'(0) = 3cdot1 + 1cdot2 = 5

Passo 4

(a) Probabilidades de M:
P(M=-1mu0) = 3cdot15 = 35, P(M=+3mu0) = 1cdot25 = 25,
e P(M) = 0 para os outros valores.

Passo 5

(b) Valor médio bar M:
bar M = (-1mu0)35 + (+3mu0)25 = -3 + 65,mu0 = 35,mu0

Passo 6

(c) Probabilidades de M':
P(M'=+4mu0) = 3cdot15 = 35, P(M'=0) = 1cdot25 = 25,
e P(M')=0 nos demais casos.

Passo 7

(d) Valor médio bar M':
bar M' = (+4mu0)35 + 0cdot25 = 125,mu0

Passo 8

(e) Se agora separarmos A e A' sem interação, cada sistema fica com a energia (e, portanto, o momento magnético) que tinha no microestado selecionado. Num tratamento em ensemble, as distribuições de M e M' não mudam: continuam dadas por P(M) e P(M') calculadas acima, pois nada reequilibra internamente cada subsistema após a separação.

Resposta

(a) P(M=-1mu0)=3/5,;P(M=+3mu0)=2/5,;zero nos outros casos.
(b) bar M = tfrac35,mu0
(c) P(M'=+4mu0)=3/5,;P(M'=0)=2/5,;zero nos outros.
(d) bar M' = tfrac125,mu0
(e) As probabilidades e valores médios permanecem inalterados, pois não há nova troca de energia após a separação.

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