Para um sistema D^*=D+D^prime onde:
  • D: 3 spins de mu0
  • D^prime: 2 spins de 2 mu0
    (a) Mostre que quando E^*=-mu0 B, existem exatamente 7 estados acessíveis

Passo 1

O enunciado descreve um sistema magnético D^*=D+D', onde em D temos 3 spins de momento magnético mu0 e em D' temos 2 spins de momento magnético 2mu0. Queremos contar quantos microestados satisfazem a condição de energia total fixa ,E^*=-mu0B. O conteúdo usado é mecânica estatística de spins não interagentes e combinatória de degenerescência.

Passo 2

Vamos expressar a energia de cada subsistema em função do número de spins “para cima”. Definimos
nuparrow = número de spins para cima em D, n'uparrow = número de spins para cima em D' úú
Cada spin em D contribui com pmmu0B, logo
ED =-mu0Bl(nuparrow - (3 - nuparrow)r) =-mu0B(2nuparrow-3) =-2nuparrow,mu0B + 3,mu0B
Em D' cada spin vale pm2mu0B, então
ED' =-2mu0Bl(n'uparrow - (2 - n'uparrow)r) =-2mu0B(2n'uparrow-2) =-4n'uparrow,mu0B + 4,mu0B

Passo 3

A energia total é
E^*=ED+ED' =l(3+4r)mu0B -mu0Bl(2nuparrow+4n'uparrowr) =7,mu0B-mu0B,(2nuparrow+4n'uparrow)
Impondo E^*=-mu0B, temos
7 - l(2nuparrow+4n'uparrowr) = -1

Passo 4

Da equação acima segue
2nuparrow+4n'uparrow=8 Longrightarrow nuparrow+2,n'uparrow=4

Passo 5

Procuramos agora as soluções inteiras com 0<= nuparrow<=3 e 0<= n'uparrow<=2. As únicas são:
  1. nuparrow=2, n'uparrow=1.
  2. nuparrow=0, n'uparrow=2.

Passo 6

Para cada solução contamos as combinações:
  1. Para nuparrow=2 em 3 spins: binom32=3. Para n'uparrow=1 em 2 spins: binom21=2. Total desse caso: 3times2=6.
  2. Para nuparrow=0: binom30=1. Para n'uparrow=2: binom22=1. Total desse caso: 1times1=1.
    Somando os dois casos, chegam-se a 6+1=7 microestados.

Resposta

Existem exatamente 7 estados acessíveis.

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