Considere um sistema de controle cuja função de transferência da malha aberta é
G(s) H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
Determine se o seguinte ponto faz parte do lugar das raízes:
s=-j 1,732

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
e pergunta se o ponto s=-j\,1,732 (ou seja s=-j\sqrt{3}) faz parte do lugar das raízes.
Informações relevantes fornecidas:
  • Polos da malha aberta: p_1=0, p_2=-1, p_3=-3.
  • Não há zeros finitos.
  • Ponto a testar: s_0=-j\sqrt{3}.
    A pergunta é apenas se esse ponto pertence ao lugar das raízes (isto é, existe algum ganho real K>0 tal que o polinômio do denominador em malha fechada tenha raiz em s_0).

Passo 2

Estratégia de resolução escolhida (explicando por que): o método padrão para verificar se um ponto s_0 pertence ao lugar das raízes é usar a condição de ângulo (fase) do lugar das raízes, seguida da condição de módulo para obter o ganho K correspondente. A razão é que o lugar das raízes é o conjunto de pontos s em que a equação característica em formato 1+G(s)H(s)=0 é satisfeita para algum K real; isso implica que G(s_0)H(s_0) tem ângulo igual a (2k+1)\pi (condição de fase) e módulo igual a 1 em módulo (condição de ganho). Vou aplicar primeiro a condição de ângulo (mais simples para testar pertencimento) e depois a condição de módulo para achar K.

Passo 3

Escrevendo a condição de ângulo de forma clara: para nosso sistema, com G(s)H(s)=K\prod (s-z_i)/\prod (s-p_i) e sem zeros, o argumento (fase) de G(s)H(s) é
\angle G(s)H(s)=\angle K -\sum_{i=1}^{3}\angle (s-p_i).
Como K será tomado como real e positivo (ganho real), \angle K=0. Portanto a condição de fase fica
\angle G(s_0)H(s_0) = -\sum_{i=1}^{3}\angle (s_0-p_i) = (2k+1)\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Equivalente (multiplicando por -1) é
\sum_{i=1}^{3}\angle (s_0-p_i) = (2m+1)\pi,\quad m\in\mathbb{Z},
mas vou calcular explicitamente as angulações e verificar que o ângulo total de G(s_0)H(s_0) é um múltiplo ímpar de \pi.

Passo 4

Calculemos as contribuições angulares individuais para s_0=-j\sqrt{3}:
  • Para o polo p_1=0: s_0-p_1 = -j\sqrt{3}. Esse vetor aponta para baixo no eixo imaginário, então
\angle(s_0-0) = \angle(-j\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{2}.
  • Para o polo p_2=-1: s_0-(-1)=1 - j\sqrt{3}. A tangente do ângulo (módulo da parte imaginária sobre real) é \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{1}, logo \theta=\dfrac{\pi}{3}. Como a parte imaginária é negativa, o ângulo é
\angle(1-j\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}.
  • Para o polo p_3=-3: s_0-(-3)=3 - j\sqrt{3}. Aqui \tan\theta=\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}, então \theta=\dfrac{\pi}{6}. Com parte imaginária negativa,
\angle(3-j\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{6}.
(Observação rápida: usei valores trigonométricos conhecidos: \arctan(\sqrt{3})=\pi/3 e \arctan(1/\sqrt{3})=\pi/6.)

Passo 5

Somando as três angulações:
\sum_{i=1}^3 \angle(s_0-p_i) = -\frac{\pi}{2} -\frac{\pi}{3} -\frac{\pi}{6}.
Colocando em denominação comum 6:
-\frac{3\pi}{6}-\frac{2\pi}{6}-\frac{\pi}{6} = -\frac{6\pi}{6} = -\pi.
Portanto
\angle G(s_0)H(s_0) = -\sum \angle(s_0-p_i) = -(-\pi)=\pi.
Como \pi=(2\cdot 0+1)\pi, a condição de ângulo do lugar das raízes é satisfeita: o ponto passa no teste de fase.

Passo 6

Agora aplicamos a condição de módulo para encontrar o ganho K correspondente (e confirmar que é positivo): a condição de módulo para que 1+G(s_0)H(s_0)=0 é |G(s_0)H(s_0)|=1. Como G(s)H(s)=K/[s(s+1)(s+3)], temos
1 = \left| \frac{K}{s_0(s_0+1)(s_0+3)}\right| \quad\Rightarrow\quad K = |s_0|\;|s_0+1|\;|s_0+3|.
Calculemos cada módulo:
  • |s_0|=| -j\sqrt{3}|=\sqrt{3}.
  • |s_0+1|=|1-j\sqrt{3}|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{1+3}=\sqrt{4}=2.
  • |s_0+3|=|3-j\sqrt{3}|=\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.
Multiplicando:
K = \sqrt{3}\cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\cdot (\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}) = 4\cdot 3 = 12.
Isso dá K=12, que é positivo e real, portanto fisicamente admissível como ganho que coloca a raiz em s_0.

Passo 7

Conclusão lógica: o ponto s=-j\sqrt{3} satisfaz a condição de ângulo (ângulo total igual a \pi, um múltiplo ímpar de \pi) e existe um ganho real positivo ( K=12) que satisfaz a condição de módulo. Logo o ponto pertence ao lugar das raízes e corresponde ao ganho K=12.

Resposta

Sim — pertence ao lugar das raízes; o ganho correspondente é K=12.

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