(LATHI, Problema 2.4-29, p. 219) O sinal periódico x(t) (ou seja, o seu comportamento é semelhante para todo o intervalo -\infty<t<+\infty) corresponde à entrada de um sistema com função de resposta ao impulso dada por h(t)=t\left[u(t)-u\left(t-\frac{3}{2}\right)\right]. Use a convolução para determinar a saída y(t) deste sistema. Trace y(t) no intervalo (-3 \leq t \leq 3).
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema LTI cuja entrada é o sinal periódico x(t), um trem de pulsos retangulares de período T=2 e largura 1, definido por
Dentro desse intervalo \tau\in[t-\tfrac32,t], x(\tau)=1 apenas quando \tau cai em cada pulso [2n,2n+1]. Como y(t) será periódico de mesmo período 2, basta achar um “período-tipo” definindo u = t - 2k no intervalo 0\le u<2. Então para t geral teremos
y(t)=f\bigl(u = t-2k\bigr),
onde k é o inteiro tal que u\in[0,2) e a função f(u) é dada a seguir.
mas os únicos pulsos não nulos de x(\tau) são \tau\in[0,1] e \tau\in[2,3]. No intervalo 0\le u<2 só a região [0,1] pode contribuir, até que u ultrapasse 2. Assim subintervalizamos u\in[0,2) em três casos:
Passo 5
Caso A: 0 \le u \le 1. Aqui u-\tfrac32\le -\tfrac12, então a integração cai inteira em [0,u]\subset[0,1].
Caso C: 1{,}5 \le u < 2. Neste trecho o limite inferior u-\tfrac32 ainda fica em [0,1], e o limite superior u já está em (1,2), mas x(\tau)=1 só até \tau=1. Logo
f(u)= \begin{cases} \tfrac12\,u^2, & 0 \le u \le 1,\\[6pt] u-\tfrac12, & 1 \le u \le 1{,}5,\\[4pt] -\tfrac12\,u^2 + u + \tfrac58, & 1{,}5 \le u < 2, \end{cases}
e a saída periódica é
y(t)=f\bigl(u=(t\!\!\!\!\mod 2)\bigr),
com y(t+2)=y(t).]
Passo 7
Para traçar y(t) em -3\le t\le3, basta repetir o bloco acima a cada 2 unidades. O gráfico de cada período tem três seções:
De u=0 a 1, cresce quadraticamente de 0 a 0{,}5.
De u=1 a 1{,}5, cresce linearmente de 0{,}5 a 1.
De u=1{,}5 a 2, decresce suavemente (quadrático) de 1 a 0{,}625.
Repita esse padrão para cobrir todo -3\le t\le3.
Resposta
A saída é o sinal periódico de período 2\) dado por
\[y(t)= \begin{cases} \tfrac12\,u^2, & 0 \le u \le 1,\\[6pt] u-\tfrac12, & 1 \le u \le 1{,}5,\\[4pt] -\tfrac12\,u^2 + u + \tfrac58, & 1{,}5 \le u < 2, \end{cases} \quad u = t \;\bmod\; 2,
e o gráfico no intervalo -3\le t\le3\] é a repetição desse trecho de comprimento \(2.]