Considere um sistema de controle cuja função de transferência da malha aberta é
Determine se o seguinte ponto faz parte do lugar das raízes:
Passo 1
O enunciado dá a função de malha aberta
e pergunta se o ponto
faz parte do lugar das raízes. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os polos de
são , e . - Não há zeros finitos.
-
é o ganho (uma constante real, tipicamente considerada positiva no traçado padrão do lugar das raízes).
A partir daqui vamos verificar a condição necessária para que um pontoesteja no lugar das raízes.
Passo 2
Regra fundamental (explicada): o lugar das raízes é o conjunto de pontos
que tornam possível a igualdade da equação característica
Reescrevendo,
Isto implica duas condições simultâneas sobre
:
A condição de fase (ii) é a que costuma determinar se um ponto está no lugar das raízes; a magnitude só determina o valor de
correspondente.
Passo 3
Como calcular a fase de
:
Se escrevemos , a fase é
Se escrevemos
No nosso caso não há zeros, logo
Para o traçado padrão do lugar das raízes assume-se
, então
. Assim basta calcular
,
e
no ponto testado.
Passo 4
Calculemos as fases no ponto
:
-
. Como é um número real positivo, . -
. É real positivo, então . -
. É real positivo, então .
Somando,
Passo 5
Comparação com a condição do lugar das raízes:
A condição de fase exige , ou seja, um múltiplo ímpar de
(por exemplo
,
,
, …). No nosso cálculo obtivemos
, que não é um múltiplo ímpar de
. Portanto, para
o ponto
não satisfaz a condição de fase e não pertence ao lugar das raízes.
A condição de fase exige
Passo 6
Observação extra (útil para prova): e se permitíssemos
? Nesse caso
(ou
) e a condição de fase poderia ser satisfeita porque
. Então também precisamos checar a magnitude para ver qual
atenderia:
A condição de magnitude é
A condição de magnitude é
Para
temos
Logo se permitirmos
existe
que satisfaz tanto fase quanto magnitude, e então
seria uma raiz em realimentação com esse ganho negativo. Mas no traçado padrão do lugar das raízes (ganho positivo) essa opção costuma ser excluída.
Resposta
Não.
não pertence ao lugar das raízes para
. (Se permitir
, então pertence para
.)