Considere um sistema de controle cuja função de transferência da malha aberta é
G(s) H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
Determine se o seguinte ponto faz parte do lugar das raízes:
s=0,5

Passo 1

O enunciado dá a função de malha aberta
G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+3)}
e pergunta se o ponto s=0,5 faz parte do lugar das raízes. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os polos de G(s)H(s) são s=0, s=-1 e s=-3.
  • Não há zeros finitos.
  • K é o ganho (uma constante real, tipicamente considerada positiva no traçado padrão do lugar das raízes).
    A partir daqui vamos verificar a condição necessária para que um ponto s esteja no lugar das raízes.

Passo 2

Regra fundamental (explicada): o lugar das raízes é o conjunto de pontos s que tornam possível a igualdade da equação característica
1+G(s)H(s)=0.
Reescrevendo,
G(s)H(s)=-1.
Isto implica duas condições simultâneas sobre G(s)H(s):
\text{(i) } |G(s)H(s)| = 1, \qquad \text{(ii) } \arg\big(G(s)H(s)\big) = (2k+1)\pi,\; k\in\mathbb{Z}.
A condição de fase (ii) é a que costuma determinar se um ponto está no lugar das raízes; a magnitude só determina o valor de K correspondente.

Passo 3

Como calcular a fase de G(s)H(s):
Se escrevemos G(s)H(s)=K\prod \frac{(s-z_i)}{\prod (s-p_j)}, a fase é
\arg\big(G(s)H(s)\big)=\arg(K)+\sum_i \arg(s-z_i)-\sum_j \arg(s-p_j).
No nosso caso não há zeros, logo
\arg\big(G(s)H(s)\big)=\arg(K)-\big[\arg(s-0)+\arg(s+1)+\arg(s+3)\big].
Para o traçado padrão do lugar das raízes assume-se K>0, então \arg(K)=0. Assim basta calcular \arg(s-0), \arg(s+1) e \arg(s+3) no ponto testado.

Passo 4

Calculemos as fases no ponto s=0,5:
  • s-0 = 0,5. Como 0,5 é um número real positivo, \arg(0,5)=0.
  • s+1 = 0,5+1 = 1,5. É real positivo, então \arg(1,5)=0.
  • s+3 = 0,5+3 = 3,5. É real positivo, então \arg(3,5)=0.
    Somando,
\arg\big(G(0,5)H(0,5)\big)=0-\big(0+0+0\big)=0.

Passo 5

Comparação com a condição do lugar das raízes:
A condição de fase exige \arg\big(G(s)H(s)\big)=(2k+1)\pi, ou seja, um múltiplo ímpar de \pi (por exemplo \pi, 3\pi, -\pi, …). No nosso cálculo obtivemos \arg\big(G(0,5)H(0,5)\big)=0, que não é um múltiplo ímpar de \pi. Portanto, para K>0 o ponto s=0,5 não satisfaz a condição de fase e não pertence ao lugar das raízes.

Passo 6

Observação extra (útil para prova): e se permitíssemos K<0? Nesse caso \arg(K)=\pi (ou -\pi) e a condição de fase poderia ser satisfeita porque \pi+0=\pi. Então também precisamos checar a magnitude para ver qual K atenderia:
A condição de magnitude é
\frac{|K|}{|s||s+1||s+3|}=1 \quad\Rightarrow\quad |K|=|s||s+1||s+3|.
Para s=0,5 temos
|K|=0,5\cdot 1,5\cdot 3,5=2,625.
Logo se permitirmos K<0 existe K=-2{,}625 que satisfaz tanto fase quanto magnitude, e então s=0,5 seria uma raiz em realimentação com esse ganho negativo. Mas no traçado padrão do lugar das raízes (ganho positivo) essa opção costuma ser excluída.

Resposta

Não. s=0,5 não pertence ao lugar das raízes para K>0. (Se permitir K<0, então pertence para K=-2{,}625.)

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