Determine a expressão da saída y(t)=x(t) * h(t) dadas a entrada x(t) e a resposta ao impulso h(t).

Passo 1

O enunciado pede a convolução contínua
y(t)=x(t)*h(t)
onde a entrada x(t)\) é um pulso retangular de amplitude 1 em \(-1\le t\le0\) e zero fora, e a resposta ao impulso \(h(t)\) é dada por \[h(t)= \begin{cases} 0, & t< -1,\\\ t+1, & -1\le t \le 0,\\\\ 1, & 0\le t \le 1,\\\\ 0, & t>1. \end{cases}
Vamos usar a definição de convolução e calcular a integral por partes, identificando os intervalos de (t] em que o integrando muda de forma.

Passo 2

Escrevemos a definição de convolução e restringimos o domínio de integração sabendo que x(\tau)\neq0 só para -1\le\tau\le0:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau =\int_{-1}^{0}1\cdot h(t-\tau)\,d\tau =\int_{-1}^{0}h(t-\tau)\,d\tau.
O suporte de y(t) será a soma dos suportes de x e h, ou seja de t_{\min}=-1+(-1)=-2 até t_{\max}=0+1=1.

Passo 3

Para cada t\in[-2,1] o argumento s=t-\tau atravessa as regiões onde h(s) vale
  1. 0 se s<-1 ou s>1,
  2. s+1 se -1\le s\le0,
  3. 1 se 0\le s\le1.
    As quebras ocorrem quando t-\tau=-1, 0 ou 1, i.e. \tau=t+1, \tau=t, \tau=t-1. Isso gera três casos de t.

Passo 4

Caso 1: -2\le t\le -1.
Então t+1\in[-1,0]. O integrando é não zero apenas para \tau\le t+1, pois para \tau>t+1 tem t-\tau<-1. Logo
y(t)=\int_{\tau=-1}^{t+1}(t-\tau+1)\,d\tau
(sabendo que aí -1\le t-\tau\le0 e h(t-\tau)=t-\tau+1). Calculamos:
y(t) =\Bigl.(t+1)\tau-\frac{\tau^2}{2}\Bigr|_{-1}^{\,t+1} =(t+1)(t+2)-\frac{(t+1)^2-(-1)^2}{2} =\frac{t^2}{2}+2t+2.

Passo 5

Caso 2: -1\le t\le0.
Aqui \tau\in[-1,0] divide-se em dois subintervalos:
  • Para -1\le\tau\le t, t-\tau\in[0,\,t+1]\subset[0,1] e h(t-\tau)=1.
  • Para t\le\tau\le0, t-\tau\in[t,0]\subset[-1,0] e h(t-\tau)=t-\tau+1.
    Então
y(t)=\int_{-1}^{t}1\,d\tau\;+\;\int_{t}^{0}(t-\tau+1)\,d\tau =(t+1)\;+\;\Bigl[-\tfrac12t^2-t\Bigr] =-\tfrac12\,t^2+1.

Passo 6

Caso 3: 0\le t\le1.
Só contribui quando t-\tau\le1, i.e. \tau\ge t-1. Assim
y(t)=\int_{\tau=t-1}^{0}1\,d\tau =0-(t-1)=1-t.

Resposta

y(t)= \begin{cases} 0, & t< -2,\\[6pt] \dfrac12\,t^2+2t+2, & -2\le t\le -1,\\[6pt] -\dfrac12\,t^2+1, & -1\le t\le0,\\[6pt] 1-t, & 0\le t\le1,\\[6pt] 0, & t>1. \end{cases}]

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