Um sistema linear invariante no tempo possui como resposta ao impulso unitário a seguinte expressão:
, onde
representa um degrau unitário. Determine a resposta no tempo desse sistema para uma entrada
, considerando condições iniciais nulas.
Considerando que já temos a resposta ao impulso unitário, a resposta a rampa unitário ( t ou
) será dada pela pela dupla integração da resposta ao impulso
assim
y_degrau
integrando novamente
y_rampa
assim
y_degrau
integrando novamente
y_rampa
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Dado: a resposta ao impulso do sistema é
, onde é o degrau unitário. (Pego do enunciado.) - Dado: a entrada é a rampa
(presumivelmente multiplicada por , ou seja ), e as condições iniciais são nulas. - Pedido: determinar a resposta no tempo
do sistema LTI, ou seja o sinal de saída quando a entrada é .
Informações relevantes que usaremos (não resolvo ainda, só listo):
- Para um sistema LTI causal com resposta ao impulso
e entrada , a saída é dada pela convolução
- Como
contém (é causal) e assumimos , os limites de integração reduzem para a para . Vou usar isso na resolução.
Passo 2
Escolhendo o método: vou usar a definição de convolução direta, que é o método básico e mais seguro. Explico por que é apropriado:
- A convolução expressa exatamente a saída de um sistema LTI com condições iniciais nulas.
- Para sinais causais (como aqui), a fórmula fica simples com integração de
a .
A fórmula que vou aplicar é
onde
é a variável de integração (um tempo “interno”). Aqui
para
e
(porque
é a rampa). Vou explicar cada passo das integrais à medida que as faço.
Passo 3
Escrevendo a convolução com as expressões conhecidas:
Explico: o fator
vem de
; o fator
vem de
. Agora distribuo e separo a integral em duas partes para facilitar:
Vou calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
Antiderivada de
é
(porque derivando dá
vezes
). Avaliando de
a
:
Então o primeiro termo vira
Segunda integral: preciso calcular
Aqui uso integração por partes. Explico o método rápido: para
escolhe-se
e
para tornar a integral mais simples. Tomo
Então,
Já calculei a integral exponencial antes; substituo:
Observando que o termo no zero com
é zero, obtenho
Posso rearranjar (opcional) como
Multiplicando por
(por causa do fator
no integrando original), o segundo termo da saída é
Passo 4
Agora junto os dois termos que tínhamos:
Vou simplificar etapa a etapa. Abro parênteses:
Agrupo os termos que contêm
:
Portanto os termos com
multiplicados sobrevivem somente como
, e aparece o termo exponencial isolado mais uma constante:
Como o sistema e sinais são causais, escrevemos a resposta válida para
(para
a saída é zero). É comum juntar isso com
para indicar causalidade:
Interpretação rápida (didática e útil na prova): a saída é a soma de um termo transitório
que tende a zero quando
, mais um termo de regime permanente
que contém a rampa (proporcional a
). Ou seja, a entrada rampa gera uma saída rampa com ganho
no termo de inclinação, mais um ajuste constante e o decaimento exponencial transitório.