(2,0) Um sistema linear invariante no tempo possui como resposta ao impulso unitário a seguinte expressão: h(t)=7 e^{-\pi t} u(t), onde u(t) representa um degrau unitário. Determine a resposta no tempo desse sistema para uma entrada x(t)=t, considerando condições iniciais nulas.
Considerando que já temos a resposta ao impulso unitário, a resposta a rampa unitário ( t ou 1 / \mathrm{s}^{\wedge} 2 ) será dada pela pela dupla integração da resposta ao impulso
assim
y_degrau (\mathrm{t})=7 \int_{0}^{t} \exp (-\pi \tau) d \tau=-\frac{7}{\pi} \exp (-\pi t)+\frac{7}{\pi}
integrando novamente
y_rampa (\mathrm{t})=\int_{0}^{t}-\frac{7}{\pi} \exp (-\pi \tau)+\frac{7}{\pi} d \tau
=\frac{7}{\pi^{2}} \exp (-\pi t)+\frac{7}{\pi} t-\frac{7}{\pi^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dado: a resposta ao impulso do sistema é \,h(t)=7 e^{-\pi t} u(t)\,, onde u(t) é o degrau unitário. (Pego do enunciado.)
  • Dado: a entrada é a rampa x(t)=t (presumivelmente multiplicada por u(t), ou seja x(t)=t\,u(t)), e as condições iniciais são nulas.
  • Pedido: determinar a resposta no tempo y(t) do sistema LTI, ou seja o sinal de saída quando a entrada é x(t)=t.
Informações relevantes que usaremos (não resolvo ainda, só listo):
  • Para um sistema LTI causal com resposta ao impulso h(t) e entrada x(t), a saída é dada pela convolução
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau.
  • Como h(t) contém u(t) (é causal) e assumimos x(t)=t\,u(t), os limites de integração reduzem para 0 a t para t\ge 0. Vou usar isso na resolução.

Passo 2

Escolhendo o método: vou usar a definição de convolução direta, que é o método básico e mais seguro. Explico por que é apropriado:
  • A convolução expressa exatamente a saída de um sistema LTI com condições iniciais nulas.
  • Para sinais causais (como aqui), a fórmula fica simples com integração de 0 a t.
    A fórmula que vou aplicar é
y(t)=\int_{0}^{t} h(\tau)\,x(t-\tau)\,d\tau,
onde \tau é a variável de integração (um tempo “interno”). Aqui h(\tau)=7 e^{-\pi \tau} para \tau\ge0 e x(t-\tau)=t-\tau (porque x(\cdot) é a rampa). Vou explicar cada passo das integrais à medida que as faço.

Passo 3

Escrevendo a convolução com as expressões conhecidas:
y(t)=\int_{0}^{t} 7 e^{-\pi \tau}\,(t-\tau)\,d\tau.
Explico: o fator 7 e^{-\pi \tau} vem de h(\tau); o fator (t-\tau) vem de x(t-\tau). Agora distribuo e separo a integral em duas partes para facilitar:
y(t)=7t\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau \;-\; 7\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau.
Vou calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau.
Antiderivada de e^{-\pi \tau} é -\dfrac{1}{\pi} e^{-\pi \tau} (porque derivando dá e^{-\pi\tau} vezes -\pi). Avaliando de 0 a t:
\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau = \left[-\dfrac{1}{\pi} e^{-\pi \tau}\right]_{0}^{t} = -\dfrac{1}{\pi} e^{-\pi t} -\left(-\dfrac{1}{\pi} e^{0}\right) = \dfrac{1}{\pi}\bigl(1 - e^{-\pi t}\bigr).
Então o primeiro termo vira
7t\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau = 7t\cdot \dfrac{1}{\pi}\bigl(1 - e^{-\pi t}\bigr) = \dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t}.
Segunda integral: preciso calcular
\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau.
Aqui uso integração por partes. Explico o método rápido: para \int u\,dv escolhe-se u e dv para tornar a integral mais simples. Tomo
u=\tau \quad\Rightarrow\quad du=d\tau, \qquad dv=e^{-\pi \tau}d\tau \quad\Rightarrow\quad v=-\dfrac{1}{\pi} e^{-\pi \tau}.
Então,
\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau = \left[u v\right]_{0}^{t} - \int_{0}^{t} v\,du = \left[-\dfrac{\tau}{\pi} e^{-\pi \tau}\right]_{0}^{t} + \dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{t} e^{-\pi \tau}\,d\tau.
Já calculei a integral exponencial antes; substituo:
\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau = -\dfrac{t}{\pi} e^{-\pi t} - \left(-\dfrac{0}{\pi}e^{0}\right) + \dfrac{1}{\pi}\cdot \dfrac{1}{\pi}\bigl(1 - e^{-\pi t}\bigr).
Observando que o termo no zero com 0\cdot e^{0} é zero, obtenho
\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau = -\dfrac{t}{\pi} e^{-\pi t} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\bigl(1 - e^{-\pi t}\bigr).
Posso rearranjar (opcional) como
\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau = \dfrac{1}{\pi^{2}} - e^{-\pi t}\!\left(\dfrac{t}{\pi} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\right).
Multiplicando por 7 (por causa do fator -7 no integrando original), o segundo termo da saída é
7\int_{0}^{t} \tau\,e^{-\pi \tau}\,d\tau = \dfrac{7}{\pi^{2}} - 7 e^{-\pi t}\!\left(\dfrac{t}{\pi} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\right).

Passo 4

Agora junto os dois termos que tínhamos:
y(t)=\left(\dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t}\right) - \left(\dfrac{7}{\pi^{2}} - 7 e^{-\pi t}\!\left(\dfrac{t}{\pi} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\right)\right).
Vou simplificar etapa a etapa. Abro parênteses:
y(t)=\dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t} - \dfrac{7}{\pi^{2}} + 7 e^{-\pi t}\!\left(\dfrac{t}{\pi} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\right).
Agrupo os termos que contêm e^{-\pi t}:
-\dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t} + 7 e^{-\pi t}\!\left(\dfrac{t}{\pi} + \dfrac{1}{\pi^{2}}\right) = -\dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t} + \dfrac{7}{\pi}t\,e^{-\pi t} + \dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t} = \dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t}.
Portanto os termos com t multiplicados sobrevivem somente como \dfrac{7}{\pi}t, e aparece o termo exponencial isolado mais uma constante:
y(t)=\dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi^{2}} + \dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t}.
Como o sistema e sinais são causais, escrevemos a resposta válida para t\ge 0 (para t<0 a saída é zero). É comum juntar isso com u(t) para indicar causalidade:
y(t)=\left(\dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t} + \dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi^{2}}\right)u(t).
Interpretação rápida (didática e útil na prova): a saída é a soma de um termo transitório \dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t} que tende a zero quando t\to\infty, mais um termo de regime permanente \dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi^{2}} que contém a rampa (proporcional a t). Ou seja, a entrada rampa gera uma saída rampa com ganho \dfrac{7}{\pi} no termo de inclinação, mais um ajuste constante e o decaimento exponencial transitório.

Resposta

y(t)=\left(\dfrac{7}{\pi^{2}} e^{-\pi t} + \dfrac{7}{\pi}t - \dfrac{7}{\pi^{2}}\right)u(t).

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