Um determinado sistema possui a seguinte função de transferência em malha aberta:
G(s)=\frac{1}{s \cdot(s+1) \cdot(s+3)}
Considere a aplicação de um controlador proporcional § em malha fechada para esse mesmo sistema, com realimentação unitária negativa. A faixa de valores do ganho proporcional que garante a estabilidade do sistema em malha fechada é:
(a) \mathrm{K}_{\mathrm{p}}<15
(b) \mathrm{K}_{\mathrm{p}}>3
(c) 0<\mathrm{K}_{\mathrm{p}}<12
(d) 1<\mathrm{K}_{\mathrm{p}}<16
(e) 0<\mathrm{K}_{\mathrm{p}}<3

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência em malha aberta
G(s)=\frac{1}{s\,(s+1)\,(s+3)}
e pede o intervalo de valores do ganho proporcional K_p que torna estável o sistema em malha fechada com realimentação unitária negativa. Para isso, vamos usar o critério de estabilidade de Routh–Hurwitz sobre o polinômio característico.

Passo 2

Em malha fechada, a equação característica é
1+K_p\,G(s)=0
ou seja
s\,(s+1)\,(s+3)+K_p=0 \quad\Longrightarrow\quad s^3+4s^2+3s+K_p=0.

Passo 3

Construímos a tabela de Routh para o polinômio
a(s)=s^3+4s^2+3s+K_p.
\begin{array}{c|cc} s^3 & 1 & 3 \\[6pt] s^2 & 4 & K_p \\[6pt] s^1 & \displaystyle\frac{4\cdot3 - 1\cdot K_p}{4} & 0 \\[8pt] s^0 & K_p & - \end{array}
Em vez de multiplicar, note que 4\cdot3=12.
]

Passo 4

Pelo critério de Routh– Hurwitz, todos os elementos da primeira coluna devem ser positivos:
1 1>0 (já vale)
2 4>0 (já vale)
3 \displaystyle\frac{12 - K_p}{4}>0; \Longrightarrow; 12 - K_p>0; \Longrightarrow; K_p<12
4 K_p>0
Logo a condição de estabilidade é
0 < K_p < 12.

Resposta

0<K_p<12, alternativa (c).

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