Considere um sistema de controle tempo discreto em malha fechada cuja função de transferência malha aberta é dada por:
G(z)=K 0,368 z+0,264z^2-1,368 z+0,368, T=0,1 s( taxa de amostra>=m )
Verificar se o ponto z=0,62+j 0,27 é um polo do sistema de malha fechada.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema discreto em malha fechada com função de transferência em malha aberta
G(z)=K;0,368,z+0,264z^2-1,368,z+0,368
e a realimentação é unitária (feedback de saída diretamente somado em +).
O que a gente quer é saber se o ponto
hat z = 0,62 + j,0,27
é um polo do sistema em malha fechada.
Para isso, lembramos que polos de malha fechada são as raízes da equação característica
1 + G(z) = 0

Passo 2

Escrevendo a condição de polo de malha fechada:
  1. Partimos de
1 + G(z)=0
2) Substituímos a expressão de 1 + K,0,368,z+0,264z^2-1,368,z+0,368=0:
z^2-1,368,z+0,368 ;+;K,(0,368,z+0,264)=0
  1. Multiplicamos em cruz para não ter fração:

Passo 3

A partir daí isolamos K,(0,368,z+0,264) = -l(z^2-1,368,z+0,368r):
boxedK = -z^2-1,368,z+0,3680,368,z+0,264,

Se, ao substituir , o valor de for real, então dá pra escolher esse ganho real e fica polo. Se der complexo, cai fora.

Passo 4

Vamos calcular numericamente para hat z^2 = (0,62 + j0,27)^2 = 0,3115 + j0,3348, :
  1. Primeiro o numerador
hat z^2 -1,368,hat z +0,368 = (0,3115 + j0,3348) - (0,8482 + j0,3694) + 0,368 = -0,1687 - j0,0346
0,368,hat z +0,264 = (0,2282 + j0,0994) + 0,264 = 0,4922 + j0,0994
  1. Depois o denominador
K = --0,1687 - j0,03460,4922 + j0,0994 = 0,1687 + j0,03460,4922 + j0,0994 approx 0,343 + j0,001
  1. Agora
O ganho é complexo, e nosso deve ser real.

Resposta

Não, não é polo do sistema em malha fechada, porque para que ele fosse polo o ganho teria que ser complexo.

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