Dados os compensadores abaixo, determine a respectiva a equação diferenças:
U(z)E(z)=Kp i d (z-a)(z-b)(z-1)(z-c)

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar a equação de diferenças que liga a saída U(z)E(z) ;=; Kpid,(z - a)(z - b)(z - 1)(z - c) ao erro , sabendo que no domínio a função de transferência do compensador é
Isso é conteúdo de transformada e diferenças finitas: vamos usar que multiplicar por equivale a avançar um instante discreto.

Passo 2

Primeiro passo “de verdade”: multiplica os dois lados pra tirar a fração. A gente tem
(z - 1)(z - c),U(z) ;=; Kpid,(z - a)(z - b),E(z)

Passo 3

Agora expande cada polinômio:
(z - 1)(z - c) = z^2 - (1 + c),z + c, (z - a)(z - b) = z^2 - (a + b),z + ab
Logo
l(z^2 - (1 + c)z + cr),U(z) ;=; Kpid,l(z^2 - (a + b)z + abr),E(z)

Passo 4

Agora a parte de transformar em diferença de verdade. A regra é:
  • u[k+2] - (1 + c),u[k+1] + c,u[k] ;=; Kpid,l(e[k+2] - (a + b),e[k+1] + ab,e[k]r) vira ,
  • vira ,
  • termo sem vira .
    Mesmo para . Então a equação em vira, no tempo discreto:

Passo 5

Geralmente a gente prefere escrever isolando u[k] - (1 + c),u[k-1] + c,u[k-2] ;=; Kpid,l(e[k] - (a + b),e[k-1] + ab,e[k-2]r) (o instante atual) em função de valores passados. Então basta trocar para reindexar:

Resposta

[
\boxed{
u[k]

(1 + c),u[k-1]
  • c,u[k-2]
  • K_{pid}\bigl(e[k] - (a + b),e[k-1] + ab,e[k-2]\bigr)
    }
    ]

Exercícios relacionados