Considere um sistema cuja função de transferência de malha fechada é
C(s)R(s)=10(s+1)(s+2)(s+5)
Mostre que a resposta em freqüência de malha fechada deste sistema exibirá um pico de ressonância embora a razão de amortecimento dos pólos de malha fechada seja maior do que a unidade. Calcule a freqüência onde ocorre o pico de ressonância omega máx á e o valor do pico |T(j u)|d B máx á

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem um sistema de malha fechada cuja função de transferência é
T(s)=C(s)R(s)=10,(s+1)(s+2)(s+5)
O conteúdo principal é resposta em frequência de sistemas de segunda ordem (com zero) e pico de ressonância, apesar de amortecimento ζ > 1.
O que vamos precisar:
  • Identificar ωₙ e ζ a partir do denominador.
  • Escrever .
  • Derivar em relação a ω, achar ω_max.
  • Calcular o valor do pico em dB.

Passo 2

Primeiro, tira os polos e encontra ζ e ωₙ.
O denominador é
(s+2)(s+5)=s^2+7s+10
Comparando com ωn^2=10Rightarrow ωn=raiz10, 2ζωn=7Rightarrow ζ=72raiz10approx1,107 , temos
Ou seja, é superamortecido (ζ > 1).

Passo 3

Mesmo superamortecido, há um zero em –1 que pode criar pico. Vamos escrever a resposta em frequência:
T(jω)=10,(jω+1)(jω+2)(jω+5)
O módulo ao quadrado fica
|T(jω)|^2 =100,(ω^2+1)(ω^2+2^2),(ω^2+5^2) =100,(ω^2+1)(ω^2+4)(ω^2+25)

Passo 4

Para achar o pico de ressonância, derivamos f(ω)=100,(ω^2+1)(ω^2+4)(ω^2+25) em relação a ω e igualamos a zero:
x^2+2x-71=0 ;Longrightarrow; x=-2+raiz4+2842approx7,485 ;Rightarrow; ωmax=raiz7,485approx2,74 rad/s
Fazendo e simplificando dá a equação em :

Passo 5

Só falta o valor do pico em dB. Primeiro o módulo:
|T(jωmax)| =raiz100,(ωmax^2+1)(ωmax^2+4)(ωmax^2+25) approxraiz2,274approx1,508
Em dB é
20log10(1,508)approx3,57 dB

Resposta

Mesmo com ζ≈1,107 (>1), há pico de ressonância.
ωₘₐₓ≈2,74 rad/s
|T(jωₘₐₓ)|ₘₐₓ≈3,57 dB.

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