Considere um sistema cuja função de transferência de malha fechada é
Mostre que a resposta em freqüência de malha fechada deste sistema exibirá um pico de ressonância embora a razão de amortecimento dos pólos de malha fechada seja maior do que a unidade. Calcule a freqüência onde ocorre o pico de ressonância
e o valor do pico
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem um sistema de malha fechada cuja função de transferência é
O conteúdo principal é resposta em frequência de sistemas de segunda ordem (com zero) e pico de ressonância, apesar de amortecimento ζ > 1.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Identificar ωₙ e ζ a partir do denominador.
- Escrever
. - Derivar em relação a ω, achar ω_max.
- Calcular o valor do pico em dB.
Passo 2
Primeiro, tira os polos e encontra ζ e ωₙ.
O denominador é
O denominador é
Comparando com
, temos
Ou seja, é superamortecido (ζ > 1).
Passo 3
Mesmo superamortecido, há um zero em –1 que pode criar pico. Vamos escrever a resposta em frequência:
O módulo ao quadrado fica
Passo 4
Para achar o pico de ressonância, derivamos
em relação a ω e igualamos a zero:
Fazendo
e simplificando dá a equação em
:
Passo 5
Só falta o valor do pico em dB. Primeiro o módulo:
Em dB é
Resposta
Mesmo com ζ≈1,107 (>1), há pico de ressonância.
ωₘₐₓ≈2,74 rad/s
|T(jωₘₐₓ)|ₘₐₓ≈3,57 dB.
ωₘₐₓ≈2,74 rad/s
|T(jωₘₐₓ)|ₘₐₓ≈3,57 dB.