Sistemas de controle são sempre projetados para um propósito específico. Para atingir este propósito, tais sistemas geralmente requerem algum ajuste, de modo que as varias especificações possam ser conseguidas. Este ajuste é chamado compensação. Dentre os muitos tipos diferentes de compensadores que podem ser usados, um dos mais simples é o Compensador em avanço. Sua característica mais importante é poder ser usado para aumentar a margem de fase do sistema.
Tendo em mente a definição de Margem de Fase e Margem de Ganho, responda: Qual das funções de transferência abaixo representa um compensador em avanço? Justifique!
& a- Gc 1=beta(s+b)s+beta b , beta<1 b- Gc 2=alpha(s+a)s+alpha a , alpha>1 & c- Gc 3=1(s+alpha a)alpha(s+a) , alpha>1 & d- Gc 4=alpha(s+a)(s+b), alpha>1

Passo 1

Então, o exercício quer saber qual dessas quatro funções de transferência é um compensador em avanço (lead). Estamos vendo parte de teoria de sistemas de controle: margem de fase, compensadores, etc. Pra resolver, precisamos lembrar que um compensador em avanço tem um zero mais “à direita” (maior frequência) que o polo. Em outras palavras, se a gente chama o zero de –z e o polo de –p, a condição de “avanço” é z>p, o que gera um ganho de fase positiva numa faixa de frequências intermediárias.

Passo 2

Teoria do compensador em avanço:
  1. Forma geral: Gc(s)=Ks+zs+p, z>p>0
    2) Esse compensador introduz fase positiva no sistema, aumentando a margem de fase.
    3) Em faixa de frequência entre p e z, o ângulo do zero (que vai de 0° até +90°) “vê” antes do polo (que vai de 0° até –90°), resultando em um pico positivo de fase.

Passo 3

Agora vamos olhar cada opção e ver se o zero está “mais à direita” que o polo:
a)
Gc1(s)=beta(s+b)s+beta b,beta<1
- Zero em s=-b.
- Polo em s=-beta b.
Como beta<1, temos beta b, logo o polo ( beta b) fica mais perto da origem e o zero ( b) fica mais longe. Então z=b>p=beta b —> isso é avanço.
b)
Gc2(s)=alpha(s+a)s+alpha a,alpha>1
- Zero em s=-a.
- Polo em s=-alpha a.
Agora alpha a>a, logo o polo fica mais longe que o zero. Ou seja, z=a —> isso é um compensador em atraso (lag).
c)
Gc3(s)=1,(s+alpha a)alpha,(s+a),alpha>1
Podemos reescrever assim:
Gc3(s)=1alpha,s+(alpha a)s+a
  • Zero em s=-alpha a.
  • Polo em s=-a.
    Como alpha>1, temos alpha a>a, logo o zero está mais longe (frequência maior) que o polo: z=alpha a>p=a. Isso também é avanço.
d)
Gc4(s)=alpha(s+a)(s+b),alpha>1
Aqui não tem a forma (s+z)/(s+p), e sim dois polos, nenhum zero. Não é um compensador em avanço.

Passo 4

Percebeu que as opções a) e c) têm exatamente a característica de avanço (zero mais à direita que o polo)? Mas a forma canônica clássica de um lead compensator normalmente é escrita como
Gc(s)=1alpha,s+alpha Ts+T,;alpha>1,
que bate certinho com a opção c).

Resposta

A função que representa o compensador em avanço no formato canônico é a letra c.

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