Um sistema linear invariante no tempo H é descrito pela equação de diferenças
y[n]-y[n-1]=x[n+1]
Escreva uma expressão para o sistema inverso x[n]= H^-1y[n].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos um sistema LTI (linear e invariante no tempo) descrito pela equação de diferenças
y[n] - y[n-1] = x[n+1]
A tarefa é achar o sistema inverso, ou seja, escrever em função de .
Conteúdo envolvido: equações de diferenças e manipulação de índices (shifts). Vamos detalhar tudo do zero.

Passo 2

Primeiro, reconheça que a equação de diferença relaciona a saída x[n+1] = y[n] - y[n-1] com uma versão avançada da entrada . Simplificando, temos:
Explicando: em um sistema de diferença, “ ” é a saída no instante , e “ ” é a saída no instante anterior. Subtraindo dá justamente a contribuição que gera a entrada deslocada.

Passo 3

Para obter x[(n-1)+1] = y[n-1] - y[n-2] Longrightarrow x[n] = y[n-1] - y[n-2] (e não ), a gente faz um shift de índice: basta trocar na expressão acima. Isso dá:
Aqui, só mudamos a letra de referência para alinhar a entrada ao mesmo instante .

Resposta

boxedx[n] = H^-1y[n] = y[n-1] - y[n-2]

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