Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é:
\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K\left(T_{2} s+1\right)}{T_{1} s+1}
Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de entrada r(t)=R \operatorname{sen} \omega t.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência de malha fechada
\frac{C(s)}{R(s)} = \frac{K\,(T_{2}s + 1)}{T_{1}s + 1}
e pede a resposta em regime permanente a uma entrada senoidal r(t)=R\sin(\omega t).
Conteúdo: resposta a sinais senoidais em sistemas LTI. Vamos avaliar a função de transferência em s = j\omega, calcular ganho e fase e reescrever a saída no domínio do tempo.

Passo 2

Substituindo s = j\omega na função de transferência, obtemos o ganho complexo em regime permanente:
G(j\omega) = \frac{C(j\omega)}{R(j\omega)} = \frac{K\,(1 + j\,\omega T_{2})}{1 + j\,\omega T_{1}}.

Passo 3

O módulo de G(j\omega) é dado por
|G(j\omega)| = \frac{K\,\sqrt{1 + (\omega T_{2})^{2}}}{\sqrt{1 + (\omega T_{1})^{2}}}.

Passo 4

A fase de G(j\omega) é a diferença entre os argumentos dos numerador e denominador:
\angle G(j\omega) = \arctan(\omega T_{2}) \;-\;\arctan(\omega T_{1}).

Passo 5

Em regime permanente, a saída de um sistema LTI a uma entrada R\sin(\omega t) é
c_{\text{ss}}(t) = R\,|G(j\omega)|\;\sin\!\bigl(\omega t + \angle G(j\omega)\bigr).
Substituindo os valores de módulo e fase encontrados:
c_{\text{ss}}(t) = R\,\frac{K\,\sqrt{1 + (\omega T_{2})^{2}}}{\sqrt{1 + (\omega T_{1})^{2}}} \;\sin\!\Bigl(\omega t + \arctan(\omega T_{2}) - \arctan(\omega T_{1})\Bigr).

Resposta

c_{\text{ss}}(t) = R\,\frac{K\,\sqrt{1 + (\omega T_{2})^{2}}}{\sqrt{1 + (\omega T_{1})^{2}}} \;\sin\!\Bigl(\omega t + \arctan(\omega T_{2}) - \arctan(\omega T_{1})\Bigr).

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