Considere um sistema descrito pela equação diferencial
ddoty+4 doty+3 y=2 r(t)
com condições iniciais nulas. Determine a função de transferência Y(s)R(s); encontre a resposta no tempo de y(t) para r(t) igual a um função degrau unitário; calcule os valores y(0) e y(infty) pelos teoremas de valor inicial e final, no caso que se cumpra as condições para aplicações desses teoremas; compare e comente os resultados dos teoremas supracitados com os valores que se tenha para t=0 e t=infty.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre sistemas descritos por equações diferenciais. Especificamente, precisamos:
  1. Encontrar a função de transferência .
  2. Determinar a resposta no tempo para uma entrada do tipo degrau unitário.
  3. Calcular os valores e usando os teoremas de valor inicial e final.
  4. Comparar e comentar esses resultados com os valores obtidos para e .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, funções de transferência e teoremas de valor inicial e final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
ddoty + 4doty + 3y = 2r(t)
Aqui, é a segunda derivada de em relação ao tempo, é a primeira derivada, e é a entrada do sistema. As condições iniciais são nulas, ou seja, e .

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
Lddoty = s^2Y(s) - sy(0) - doty(0)
Ldoty = sY(s) - y(0)
Ly = Y(s)
Lr(t) = R(s)
Como as condições iniciais são nulas ( s^2Y(s) + 4sY(s) + 3Y(s) = 2R(s) e ), a transformada fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar Y(s)(s^2 + 4s + 3) = 2R(s) :
Y(s)R(s) = 2s^2 + 4s + 3
Para encontrar a função de transferência , basta isolar sobre :
Essa é a função de transferência do sistema.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a resposta no tempo R(s) = 1s para uma entrada Y(s) = 2s^2 + 4s + 3 cdot 1s = 2s(s^2 + 4s + 3) que é um degrau unitário. Sabemos que a transformada de Laplace de um degrau unitário é:
Portanto, usando a função de transferência que encontramos:
Para simplificar e achar , vamos fazer uma decomposição em frações parciais.

Passo 6

Primeiro, fatoramos o denominador:
s^2 + 4s + 3 = (s + 1)(s + 3)
Então, temos:
Y(s) = 2s(s + 1)(s + 3)
Agora, fazemos a decomposição:
2s(s + 1)(s + 3) = As + Bs + 1 + Cs + 3
Multiplicando ambos os lados por 2 = A(s + 1)(s + 3) + B s (s + 3) + C s (s + 1) :
2 = A(1)(3) Rightarrow A = 23
Para encontrar 2 = B (-1)(2) Rightarrow B = -1 , 2 = C (-3)(-2) Rightarrow C = 13 e Y(s) = 2/3s - 1s + 1 + 1/3s + 3 , escolhemos valores de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Então, a decomposição fica:

Passo 7

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter y(t) = 23 cdot 1 - e^-t + 13 e^-3t :
y(t) = 23 - e^-t + 13 e^-3t
Simplificando:

Passo 8

Vamos calcular y(0) = limt to 0^+ y(t) = lims to infty s Y(s) e s Y(s) = s cdot 2s^2 + 4s + 3 approx 2ss^2 = 2s Rightarrow lims to infty 2s = 0 usando os teoremas de valor inicial e final.
Teorema de Valor Inicial:
y(infty) = limt to infty y(t) = lims to 0 s Y(s)
Calculando:
s Y(s) = s cdot 2s^2 + 4s + 3 = 2ss^2 + 4s + 3 Rightarrow lims to 0 03 = 0
Então, .
Teorema de Valor Final:
Calculando:
Então, .

Resposta

A função de transferência é . A resposta no tempo para um degrau unitário é . Os valores calculados usando os teoremas são e , que coincidem com os limites da função quando tende a 0 e ao infinito, respectivamente.

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