Considere um sistema descrito pela equação diferencial
com condições iniciais nulas. Determine a função de transferência
; encontre a resposta no tempo de
para
igual a um função degrau unitário; calcule os valores
e
pelos teoremas de valor inicial e final, no caso que se cumpra as condições para aplicações desses teoremas; compare e comente os resultados dos teoremas supracitados com os valores que se tenha para
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre sistemas descritos por equações diferenciais. Especificamente, precisamos:
- Encontrar a função de transferência
. - Determinar a resposta no tempo
para uma entrada do tipo degrau unitário. - Calcular os valores
e usando os teoremas de valor inicial e final. - Comparar e comentar esses resultados com os valores obtidos para
e .
Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, funções de transferência e teoremas de valor inicial e final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial dada:
Aqui,
é a segunda derivada de
em relação ao tempo,
é a primeira derivada, e
é a entrada do sistema. As condições iniciais são nulas, ou seja,
e
.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que:
Como as condições iniciais são nulas (
e
), a transformada fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
:
Para encontrar a função de transferência
, basta isolar
sobre
:
Essa é a função de transferência do sistema.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a resposta no tempo
para uma entrada
que é um degrau unitário. Sabemos que a transformada de Laplace de um degrau unitário é:
Portanto, usando a função de transferência que encontramos:
Para simplificar e achar
, vamos fazer uma decomposição em frações parciais.
Passo 6
Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, temos:
Agora, fazemos a decomposição:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar
,
e
, escolhemos valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, a decomposição fica:
Passo 7
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter
:
Simplificando:
Passo 8
Vamos calcular
e
usando os teoremas de valor inicial e final.
Teorema de Valor Inicial:
Calculando:
Então,
.
Teorema de Valor Final:
Calculando:
Então,
.
Resposta
A função de transferência é
. A resposta no tempo para um degrau unitário é
. Os valores calculados usando os teoremas são
e
, que coincidem com os limites da função
quando
tende a 0 e ao infinito, respectivamente.