Considere a equação diferencial ordinária (EDO) homogénea que representa um sistema livre e cujas condições iniciais são: f(0)=0 e dotf(0)=4
2 ddotf+10 dotf+18 f=0
Encontre o valor de f(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea que descreve um sistema livre. A equação é:
2 ddotf + 10 dotf + 18 f = 0
As condições iniciais são e . Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e essas condições.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
ddotf + 5 dotf + 9 f = 0
Agora, temos uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

A próxima etapa é encontrar as raízes da equação característica associada. Para isso, escrevemos a equação característica:
r^2 + 5r + 9 = 0

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, , e .

Passo 5

Calculando o discriminante De:
Como o discriminante é negativo ( ), teremos raízes complexas.

Passo 6

As raízes serão da forma:
r = -5 pm raiz-112 = -52 pm raiz112i
Então, e .

Passo 7

Com raízes complexas, a solução geral da EDO é:
f(t) = e^alpha t ( C1 cos(beta t) + C2 sin(beta t) )
Substituindo f(t) = e^-52 t ( C1 cos( raiz112 t ) + C2 sin( raiz112 t ) ) e :

Passo 8

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes 0 = e^0 ( C1 cos(0) + C2 sin(0) ) 0 = C1 cdot 1 + C2 cdot 0 C1 = 0 e .
Primeira condição: .
Substituindo na solução geral:

Passo 9

Com f(t) = e^-52 t ( C2 sin( raiz112 t ) ) , a solução simplifica para:

Passo 10

Agora, usamos a segunda condição inicial: dotf(t) = e^-52 t ( C2 raiz112 cos( raiz112 t ) ) + ( -52 e^-52 t ) ( C2 sin( raiz112 t ) ) .
Primeiro, vamos encontrar a derivada de 4 = 1 ( C2 raiz112 cdot 1 ) + ( -52 cdot 1 ) cdot 0 4 = C2 raiz112 C2 = 8raiz11 :
Simplificando em :

Passo 11

Agora que temos f(t) = e^-52 t ( 8raiz11 sin( raiz112 t ) ) e , substituímos de volta na solução:

Resposta

Portanto, a solução para f(t) = 8raiz11, e^-52 t sin( raiz112, t ) é:

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