Considere a equação diferencial ordinária (EDO) homogénea que representa um sistema livre e cujas condições iniciais são:
e
Encontre o valor de f(t)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) homogênea que descreve um sistema livre. A equação é:
As condições iniciais são
e
. Nosso objetivo é encontrar a função
que satisfaz essa equação e essas condições.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, temos uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
A próxima etapa é encontrar as raízes da equação característica associada. Para isso, escrevemos a equação característica:
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
.
Passo 5
Calculando o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), teremos raízes complexas.
Passo 6
As raízes serão da forma:
Então,
e
.
Passo 7
Com raízes complexas, a solução geral da EDO é:
Substituindo
e
:
Passo 8
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para determinar as constantes
e
.
Primeira condição:
.
Substituindo
na solução geral:
Passo 9
Com
, a solução simplifica para:
Passo 10
Agora, usamos a segunda condição inicial:
.
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
:
Simplificando em
:
Passo 11
Agora que temos
e
, substituímos de volta na solução:
Resposta
Portanto, a solução para
é: