Um sistema mecânico com condições nulas é representado pelo seguinte sistema de equações:
Encontre a função de transferência
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta um sistema mecânico com duas equações diferenciais que descrevem o movimento de duas massas,
e
. Nosso objetivo é encontrar as funções de transferência
e
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sistemas dinâmicos e transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que
e
são provavelmente as velocidades
e
das massas
e
, respectivamente, e
é uma força externa aplicada ao sistema. Para facilitar, vamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas equações diferenciais para converter o sistema para o domínio da frequência
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Laplace que diz que a transformada de
é
. Como as condições iniciais são nulas,
.
Passo 4
Aplicando a Transformada de Laplace na segunda equação:
Da mesma forma, usamos a propriedade da transformada de
, considerando que
.
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações algébricas:
Nosso próximo passo é resolver esse sistema para
e
em função de
.
Passo 6
Vamos resolver a segunda equação para
:
Isso nos permite expressar
em termos de
.
Passo 7
Substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Passo 8
Vamos então isolar
:
Para simplificar a expressão, vamos combinar os termos:
Passo 9
Simplificando o denominador:
Portanto:
Passo 10
Agora, podemos escrever a função de transferência
:
Passo 11
Para encontrar
, usamos a relação que encontramos anteriormente:
Então:
Resposta
As funções de transferência são:
e