Um sistema mecânico com condições nulas é representado pelo seguinte sistema de equações:
& m1 dotv1+(b1+b2) v1-b1 v2=r(t) & m2 dotv2+ b1(v2-v1)=0
Encontre a função de transferência V1(s)R(s) e V2(s)R(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta um sistema mecânico com duas equações diferenciais que descrevem o movimento de duas massas, e . Nosso objetivo é encontrar as funções de transferência e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de sistemas dinâmicos e transformadas de Laplace, que ajudam a transformar equações diferenciais em equações algébricas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que e são provavelmente as velocidades e das massas e , respectivamente, e é uma força externa aplicada ao sistema. Para facilitar, vamos aplicar a Transformada de Laplace nas duas equações diferenciais para converter o sistema para o domínio da frequência .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
m1 s V1(s) + (b1 + b2) V1(s) - b1 V2(s) = R(s)
Aqui, usamos a propriedade da transformada de Laplace que diz que a transformada de é . Como as condições iniciais são nulas, .

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na segunda equação:
m2 s V2(s) + b1 (V2(s) - V1(s)) = 0
Da mesma forma, usamos a propriedade da transformada de , considerando que .

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações algébricas:
(m1 s + b1 + b2) V1(s) - b1 V2(s) = R(s) -b1 V1(s) + (m2 s + b1) V2(s) = 0
Nosso próximo passo é resolver esse sistema para e em função de .

Passo 6

Vamos resolver a segunda equação para -b1 V1(s) + (m2 s + b1) V2(s) = 0 implies V2(s) = b1m2 s + b1 V1(s) :
Isso nos permite expressar em termos de .

Passo 7

Substituímos (m1 s + b1 + b2) V1(s) - b1 ( b1m2 s + b1 V1(s) ) = R(s) na primeira equação:
( m1 s + b1 + b2 - b1^2m2 s + b1 ) V1(s) = R(s)
Simplificando:

Passo 8

Vamos então isolar V1(s) = R(s)m1 s + b1 + b2 - b1^2m2 s + b1 :
V1(s) = R(s) (m2 s + b1)(m1 s + b1 + b2)(m2 s + b1) - b1^2
Para simplificar a expressão, vamos combinar os termos:

Passo 9

Simplificando o denominador:
(m1 s + b1 + b2)(m2 s + b1) - b1^2 = m1 m2 s^2 + (m1 b1 + m2 b1 + m2 b2) s + b1^2 + b1 b2 - b1^2 = m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s
Portanto:
V1(s) = R(s) (m2 s + b1)m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s

Passo 10

Agora, podemos escrever a função de transferência V1(s)R(s) = m2 s + b1m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s :

Passo 11

Para encontrar V2(s) = b1m2 s + b1 V1(s) , usamos a relação que encontramos anteriormente:
V2(s)R(s) = b1m2 s + b1 cdot V1(s)R(s) = b1 (m2 s + b1)(m2 s + b1)(m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s) = b1m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s
Então:

Resposta

As funções de transferência são:
V1(s)R(s) = m2 s + b1m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s
e
V2(s)R(s) = b1m1 m2 s^2 + (m1 + m2) b1 s + m2 b2 s

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