Determine a resposta no tempo de um sistema se sua função de transferência é G(s)=s^2+2 s+3(s+1)^2 é multiplicado por um compensador 1s+1

Passo 1

Vamos lá! Você tem um sistema cuja função de transferência é e está multiplicando essa função por um compensador . Nosso objetivo é determinar a resposta no tempo desse sistema. Para isso, vamos trabalhar com transformadas de Laplace e entender como modificar a função de transferência.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar a função de transferência original pelo compensador. Isso fica assim:
Gnovo(s) = G(s) times 1s + 1 = s^2 + 2s + 3(s + 1)^2 times 1s + 1 = s^2 + 2s + 3(s + 1)^3

Passo 3

Agora, para encontrar a resposta no tempo, precisamos fazer a Transformada de Laplace inversa de Gnovo(s) = s^2 + 2s + 3(s + 1)^3 . Vamos simplificar a fração:
s^2 + 2s + 3 = (s + 1)^2 + 1
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Gnovo(s) = (s + 1)^2 + 1(s + 1)^3 = 1s + 1 + 1(s + 1)^3
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente:
  1. Para L^-11(s + 1)^3 = t^22 e^-t , a Transformada inversa é .
  2. Para , usamos a fórmula da Transformada inversa para , que é . Aqui, e , então:

Passo 5

Somando as duas respostas no tempo, temos:
y(t) = e^-t + t^22 e^-t = e^-t (1 + t^22)

Resposta

A resposta no tempo do sistema é .

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