Considere úm sistema diferenciador cuja resposta ao impulso é dada por h[n]= (de ) e cuja entrada seja um degrau x[n]=u[n].
Encontre a saída y[n] a partir de Y(z) e comente o significado do resultado.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a saída h[n] = de de um sistema LTI discreto cuja resposta ao impulso é
quando a entrada é o degrau .
Conteúdo: Z-transformadas, multiplicação em (equivale à convolução no tempo) e inversão de Z-transformada. Vamos usar:
  1. Z-transformada de e de .
  2. Propriedade de multiplicação no domínio .
  3. Tabela de pares .

Passo 2

Calcular H(z) ;=; 1 - z^-1 = Z{ u[n] ;long<=ftrightarrow; 11 - z^-1, |z|>1 }:
  • Z{ X(z) ;=; 11 - z^-1 } = 1
  • Z{ } =
    Logo
Também precisamos de = Z{ }. Sabemos que
Então

Passo 3

Usamos a propriedade de sistemas LTI em Y(z) ;=; H(z),X(z) ;=;l(1 - z^-1r);11 - z^-1 ;=;1 :
Aqui a simplificação , vale para , mas em termos de séries de potências significa que é a transformada de .

Passo 4

Agora invertemos 1 ;long<=ftrightarrow; de. Da tabela de Z-transformadas:
y[n] ;=;de
Isso nos dá diretamente

Resposta

A saída do sistema é
boxedy[n] = de
Interpretação: um diferenciador discreto atua como derivada do degrau, gerando um impulso na origem.

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