Considere úm sistema diferenciador cuja resposta ao impulso é dada por h[n]= (de ) e cuja entrada seja um degrau x[n]=u[n].
Defina a saída do sistema Y(z) sabendo que a resposta de um sistema LIT pode ser dada pela convolução y[n]=x[n] * h[n].

Passo 1

Beleza, o exercício tá dizendo o seguinte: temos um sistema LIT (linear e invariante no tempo) que responde a um impulso com
h[n] = de
e a entrada é o degrau discreto
x[n] = u[n]
Queremos achar a saída em termos de Z-transformada, ou seja, .
O que vamos usar:
  • Convolução discreta, com a “propriedade do delta”.
  • Propriedade do passo e a relação .
  • Fato de que .

Passo 2

Vamos começar escrevendo a convolução no domínio do tempo:
y[n] = x[n] * h[n] = sumk=-infty^infty x[k],h[n-k]
Aqui e .

Passo 3

Substituindo na soma:
y[n] &= sumk=-infty^infty u[k] ,(de
Pela propriedade do delta, y[n] = u[n] ;-; u[n-1] . Então:

Passo 4

Agora usamos a identidade básica de sinais:
u[n] - u[n-1] = de
Isso é bem direto se você lembrar que o passo “liga” a partir de y[n] = de, e a diferença cancela tudo, sobrando só um pico em .
Então

Passo 5

Como pediram Zde, basta fazer a Z-transformada de Y(z) = 1. Sabendo que

temos

Resposta

.

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