A partir da sequência discreta abaixo faça o que se pede:
Desenhe o mapa de polos e zeros;
Passo 1
O exercício pede para a gente pegar a sequência discreta
e “desenhar o mapa de polos e zeros”.
Conteúdo: transformada Z de sinais discretos e como extrair polos e zeros dessa transformada.
O que vamos precisar:
Conteúdo: transformada Z de sinais discretos e como extrair polos e zeros dessa transformada.
O que vamos precisar:
- Definição da transformada Z:
. - Saber que
é o passo unitário (ele “liga” a sequência em ). - Entender séries geométricas e como achar raízes de numerador (zeros) e denominador (polos).
Passo 2
Escrevendo a transformada Z de
:
Aqui o
faz a soma começar em
. A série resultante é uma série geométrica em
.
Passo 3
Lembrando a fórmula da soma de série geométrica
(para
),
aqui temos , então
aqui temos
Para manipular melhor, multiplico numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora identifica-se polos e zeros:
- Zeros são raízes do numerador:
satisfaz . - Polos são raízes do denominador:
satisfaz .
Também fica claro que a região de convergência é, mas para o mapa de polos e zeros só precisamos marcar esses pontos no plano .
Passo 5
Desenhando no plano complexo:
- Um “o” (zero) em
. - Um “×” (polo) em
no eixo real.
Resposta
Zero em
e polo em
, com ROC
.