A partir da sequência discreta abaixo faça o que se pede:
x[n]=(12)^n u[n]
Desenhe o mapa de polos e zeros;

Passo 1

O exercício pede para a gente pegar a sequência discreta
x[n]=l(tfrac12r)^n,u[n]
e “desenhar o mapa de polos e zeros”.
Conteúdo: transformada Z de sinais discretos e como extrair polos e zeros dessa transformada.
O que vamos precisar:
  • Definição da transformada Z: .
  • Saber que é o passo unitário (ele “liga” a sequência em ).
  • Entender séries geométricas e como achar raízes de numerador (zeros) e denominador (polos).

Passo 2

Escrevendo a transformada Z de X(z)=sumn=0^inftyl(tfrac12r)^n,z^-n :
Aqui o faz a soma começar em . A série resultante é uma série geométrica em .

Passo 3

Lembrando a fórmula da soma de série geométrica
X(z) =11 - l(tfrac12,z^-1r) =11 - tfrac12,z^-1 (para X(z) =zz - tfrac12 ),
aqui temos , então
Para manipular melhor, multiplico numerador e denominador por :

Passo 4

Agora identifica-se polos e zeros:
  • Zeros são raízes do numerador: satisfaz .
  • Polos são raízes do denominador: satisfaz .
    Também fica claro que a região de convergência é , mas para o mapa de polos e zeros só precisamos marcar esses pontos no plano .

Passo 5

Desenhando no plano complexo:
  • Um “o” (zero) em .
  • Um “×” (polo) em no eixo real.

Resposta

Zero em e polo em , com ROC .

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